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第二章第2讲函数的表示法.ppt

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    • 考纲要求考纲研读1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.了解简单的分段函数,并能简单应用.对于函数的解析式的考查主要集中在两个方面:求函数值或求函数解析式 f(x);分段函数主要体现分类讨论的思想.第2讲函数的表示法 1.函数的三种表示法图象法列表法解析法_______、________、_________.(1)图象法:就是_____________表示两个变量之间的关系.(2)列表法:就是____________来表示两个变量的函数关系.(3)解析法:就是把两个变量的函数关系,用_____来表示.2.分段函数列出表格等式在自变量的不同变化范围中,对应关系用不同式子来表示的函数称为分段函数.分段函数的对应关系为一整体.用函数图象 AB 5.已知函数f(x)=x2+|x-2|,则f(1)=____. A2 2 或- ,若 f(a)=2,则实数考点1 求函数值例1:①(2011 年浙江)设函数 f(x)=41-xa=________.解析:∵f(a)=41-a=2,∴a=-1.答案:-1 ②(2011 年广东)设函数 f(x)=x3cosx+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________.解析:f(a)=a3cosa+1=11,即f(a)=a3cosa=10.则f(-a)=(-a)3cos(-a)+1=-a3cosa+1=-10+1=-9.答案:-9 【互动探究】1.已知 a,b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=____.2解析:因为 f(x)=x2+4x+3,所以 f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+(b2+4b+3).又 f(ax+b)=x2+10x+24,所以5a-b=2. 考点 2 分段函数例2:①(2011 年北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15分钟,那么 C 和 A 的值分别是()A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16答案:D 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为______.分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的,处理相关问题时,首先要确定自变量的值属于哪一个区间,从而选定相应关系式代入计算.特别地要注意分段区间端点的取舍.答案:. 【互动探究】-2 考点3求函数的解析式例 3:(1)已知 f(x+1)=x2-1,求 f(x)的表达式;(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x);解题思路:本题侧重于从映射的角度理解函数,求函数解析式 f(x)即是求“对应关系 f 是如何对 x 实施运算的”. 解析:(1)方法一:f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2x-2=(x+1)2-2(x+1),可令t=x+1,则有f(t)=t2-2t,故f(x)=x2-2x.(f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的)方法二:令x+1=t,则x=t-1.代入原式,有f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,∴f(x)=x2-2x.(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17.∴a=2,b=7.故f(x)=2x+7. 【互动探究】3.已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于_________.2 008 解 析 : ∵f(3x)= 4xlog23+ 233= 4log23x+ 233⇒f(x)=4log2x+233,∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=8×233+4(log22+2log22+3log22+…+8log22)=1 864+144=2 008. 考点 4 函数中的信息给予题例 4:符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数{x}=x-[x].给出下列四个命题:①函数{x}的定义域是 R,值域为[0,1];③函数{x}是周期函数;④函数{x}是增函数.其中正确命题的序号有()A.①④B.③④C.②③D.②④ 答案:C 【互动探究】4.(2011 年广东珠海模拟)对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的最大整数,例如[2]=2;[2.1]=2;[- 2.2]=3,这个函数[x]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log264]的值为()CA.21B.76C.264D.642 1.求抽象函数解析式的几种常用方法(1)换元法:已知 f[g(x)]的表达式,欲求 f(x),我们常设 t=g(x),反解求得 x=g-1(t),然后代入 f[g(x)]的表达式,从而得到 f(t)的表达式,即为 f(x)的表达式.(2)凑配法:若已知 f[g(x)]的表达式,欲求 f(x)的表达式,用换元法有困难时[如 g(x)不存在反函数],可把 g(x)看成一个整体,把右边变为由 g(x)组成的式子,再换元求出 f(x)的式子.(3)消元法:已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法. (4)赋值法:在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式.2.分段函数不论是研究性质,还是作图、求值,都是按自变量的取值范围和对应关系分段处理.1.在函数 f(x)中,符号 f 表示一种对应关系,可以是解析式,可以是图象,也可以是图表.2.分段函数是同一个函数,由于在不同区间上的解析关系式不同,所以容易忽视自变量的取值范围,从而造成错误. 考纲要求考纲研读1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.以函数的奇偶性与周期性为载体求函数值、比较函数值的大小、解函数不等式及求参数的取值范围是本节考查的重点.2.研究函数性质时可以将抽象的函数具体化、直观化(利用图象).第3讲函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性的定义(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有____________[或_____________],则称 f(x)为奇函数.奇函数的图象关于____对称.(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有____________[或____________],则称 f(x)为偶函数.偶函数的图象关于___轴对称.(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).原点f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(-x)-f(x)=0yf(-x)=f(x) 2.函数的周期性的定义对于函数 f(x),如果存在一个__________T,使得定义域内的每一个 x 值,都满足_____________,那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的______.非零常数f(x+T)=f(x)周期 DA.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数)C2.下列函数中,在其定义域内是奇函数的是( CA.y 轴对称C.坐标原点对称B.直线 y=-x 对称D.直线 y=x 对称4.设函数 f(x)=(x2+1)(x+a)为奇函数,则 a=___.05.设 f(x) 是( -∞,+∞) 上的奇函数,f(x+2) =-f(x) ,当0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)=_______.-0.5 解析:由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f(x),故f(x)是以4为周期的函数.故f(7.5)=f(-0.5+8)=f(-0.5).又f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 考点1 判断函数的奇偶性例1:判断下列函数的奇偶性: 解:(1)函数的定义域为x∈(-∞,+∞),关于原点对称.∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.(2)此函数的定义域为{x|x>0 }.由于定义域关于原点不对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)去掉绝对值符号,根据定义判断.故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2>0. 故 f(x)为奇函数.(4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0 时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).故函数f(x)为奇函数. (5)此函数的定义域为{-1,1},且f(x)=0.可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称,故此函数既是奇函数又是偶函数.∴f(x)是奇函数. (1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则 x∈D 时都有-x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件,因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域.(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明.(3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是:定义域(关于原点对称)→验证 f(-x)=±f(x)→下结论,还可以利用图象法或定义的等 【互动探究】域均为 R,则()BA.f(x)与 g(x)均为偶函数C.f(x)与 g(x)均为奇函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数01.(2010年广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义=___. 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).即x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|⇒=.∴a=0. 考点2利用函数的奇偶性求函数解析式 【互动探究】3.(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,f(x)=x3-x2,则当 x>0 时,f(x)的解析式为_________________.f(x)=-x3-x24.(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=()AA.-3B.-1C.1D.3解析:f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.故选 A. 考点3函数奇偶性与周期性的综合应用答案:A 值的方法.关键是通过周期性和奇偶性,把自变量-—转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数52[0,1]上进行求值. 【互动探究】5.(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为()BA.6B.7C.8D.9解析:因为当0≤x<2 时,f(x)=x3-x,又因为f(x)是R 上最小正周期为2 的周期函数,且 f(0)=0,所以 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,又因为f(1)=0,所以 f(3)=0,f(5)=0.故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7 个,故选B. DA.af(x2)单调减区间 f(x1)0f′(x)<03.函数的最大(小)值设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在定值 x0∈A,使得对于任意 x∈A,有____________恒成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最大值;如果存在定值 x0∈A,使得对于任意 x∈A,有___________恒成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最小值.f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0) A.k>-1.函数 y=x2-6x 的减区间是()DA.(-∞,2]C.[3,+∞)B.[2,+∞)D.(-∞,3]2.函数 y=(2k+1)x+b 在实数集上是增函数,则()A12B.k<-12C.b>0D.b>0 3.已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为()DA.[-4,1]C.[-4,1]∪[0,5]B.[0,5]D.[-2,3]解析:f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位.因此f(x-2)的值域不变.单调减区间是______________.[0,+∞)5.指数函数 y=(a-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a的取值范围为________.10 得 0

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