固体物理习题7.ppt

第七章 晶体中的缺陷与扩散7.1 考虑一个含有个原子和n个肖特基缺陷的晶体，证明 在温度时，式中u是形成一个肖特基缺陷的能量 证明：晶体中出现n个空位时，内能将增加式中u是形成一个空位的能量 整个晶体将包含Nn个格点，晶体中有n个空位时，数目不太多，不出现相邻格点同时存在空位的情况，那末，假定空位的出现并不影响晶体原来的振动状态，空位N个相同的原子将可以有种不同的方式排列在格点上，由此引起熵的增量为这样，当晶体存在n 个空位时，自由能将改变应用平衡条件 因而可应用斯特令公式,且由于N,n数目都很大,得到于是由于Nn，最后得7.2假定从钠晶体中拔走一个钠原子放到晶体表面上所需的能量为 ，试计算 时肖脱基缺陷的浓度，并与 时 的空位浓度比较 解：已知肖特基缺陷数目为 题给 设对应于两个温度的缺陷数分别为 和 ，因所以即当温度 从上升到 时， 肖特基空位数增大了 倍，可见空位数目随温度的变化是非常敏感的7.3 考虑一个包含N个原子和n个肖特基空位的晶体，原子振动频率的分布遵循爱因斯坦模型假设由于空位的出现，与之相邻的m个原子的振动频率由变为 ，试证明 式中u为形成一个肖特基缺陷的能量证明：(1) 由于晶体中有n个原子移到表面去，整个晶体一共包含Nn个内能将增加如果形成一个空位需要能量u，当晶体中出现n个空位时，格点。

N个相同的原子将可以有 种不同的方式排列在格点上，由此而引起熵的增加为 (2) 如计及到由于空位的出现，其邻近的原子的振动频率要发生改子的平均振动能（不考虑零点能）为晶体原则按照爱因斯坦模型，变，这过程也要引起熵的增加，原子振动对熵的贡献是 (3) 当温度较高， 时，则有 因而（3）式变为 (4)当晶体中出现n个空位时，若每个空位有m个近邻原子，它们的振动频率从 变为 ， 那么，整个晶体共有3nm 个频率为 和3（Nnm）个频率为 的谐振子 这时，晶体中同原子振动相联系的熵可根据(4)式表示为 (5) 由（4）（5）两式可以求得，由于空位近邻原子振动频率的变化而引起晶体熵的改变 (6) 联合（1）（2）（6）式，由于n 个肖特基缺陷的出现及其近邻原子振动频率的改变而引起晶体自由能的改变为并应用斯特令公式 从上式得到 实际上，于是得这就是计及缺陷近邻原子振动频率发生改变情况下的肖特基缺陷数目的统计表达式平衡时， ，7.4 设u代表形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量，证明在温度T 时，达到热平衡的晶体中弗仑克尔缺陷的数目为式中， 分别代表晶体中的原子总数和间隙位置数 证明：这n个原子排列在 个间隙位置上的可能方式数为在N个原子的晶格中形成n个空位的可能方式数为这样，从N个格点上取出n个原子并把它们排列在 个间隙位 置上的总方式数 由此而引起熵的增量 应用斯特令公式 上式变为 (1) 由于每把一个格点原子安置在间隙位置上需要能量u， 依题设当存在n个间隙原子时内能的增量为(2) 如果把形成缺陷所引起晶体体积的任何改变和缺陷近邻原子振动频率的任何改变略去不计， 则（1）（2）两式代表缺陷出现所引起的自由能增量为 应用平衡条件 得到 即因为实际上 故得 7.5 有一单原子晶体，原子在间隙位置上的能量比在格点位置上高leV。

设间隙位置数等于格点数，均等于原子数，试求在什么温度下，有11000的原子跃入间隙位置？令N代表晶体的原子数（依题给，也等于格点数或间隙位置数），n代表填隙原子数 在N个格点中形成n个空位的可能方式数为 这n个原子排列在N个间隙位置上的可能方式数 于是，N个原子中有n个跑到间隙位置所引起的熵的增加是解：在此同时，内能的增量为自由能的增量式中u代表原子位于间隙位置比在格点处高出的能量 利用斯特令公式 由平衡条件 容易得到代入 即得 7.6 在离子晶体中，由于电中性的要求，肖脱基缺陷都成对出现令 代表正、负离子空位的对数， 是形成一对缺陷所需的能量， 为整个离子晶体中正、负离子对的数目，在理论上（1）试求产生肖脱基缺陷后晶体体积的相对变化为无缺陷时晶体的体积2）在 时，用 射线测定食盐的离子间距，再由确定的密度 算得的分子量 为 ，而用化学方法测定的分子量 是 ，求在 时缺陷浓度 的数量级可以推出：解： （1）设每个离子占据体积为 ，则当出现 对正、负离子空位时，所增加的体积为而晶体原体积为由式得（2）即使在 时，晶体中的缺陷数目与正常格点上的原子数目相比是很少的因此，在忽略热膨胀的影响的情况下，用 射线测得的离子间距可视为正常离子间的距离。

设食盐晶体的离子间距为 ，则晶格常数为 ，一个晶胞内包含4个食盐分子 再设晶体总质量是 ，无缺陷时体积为 ，有缺陷时体积为 ，用 射线方法确定的分子质量可表示为用化学方法测得的分子质量可视为真实的分子质量，可表示为则可知其中 为阿伏加德罗常数，由以上两式得以 表示缺陷的相对浓度，利用得缺陷的相对浓度7.7 晶体中由于缺陷的出现改变了缺陷附近的晶格势场，使每 个缺陷最近邻的m个原子的平均振动频率从 变为 ，因而改 变了晶体的自由能计及这个影响，试推导平衡时晶体中弗仑克尔缺陷数目的表示式.设晶体一共包含N个原子和 在没有出现缺陷之前，晶体中自由能为（不计及零点振动能） 采用爱因斯坦模型，每个振动模均以相同的频率 振动， 上式变成 解：个间隙，(1) 式中第二项代表原子振动对自由能的贡献若晶体中生成n个弗仑克尔缺陷，它们存在的可能排列方式数 (2) 由此引起晶体的熵增加 ，(3) 如果每形成一个弗仑克尔缺陷需要能量u，形成n个这样的缺陷所需的能量(4) 并导致自由能增加了由于缺陷的存在，使其近邻原子的振动频率从 变为 由（1）式可得，此时原子振 动对自由能的贡献(5) 因此，计及振动频率的改变，当晶体中存在n个弗仑克尔缺陷 时，晶体的自由能为设每个缺陷的近邻数为m，那么一共有nm个原子以频率 振动， (N-nm)个原子仍以频率 振动，因而自由能的增量是(6) 公式中的第一项的对数可以应用斯特令公式 化简为 当温度较高时， 从而得到于是（6）式中第三项方括号内的项可化简为 这样，（6）式化简为代入平衡条件 得 整理后得到注意到实际上 故得 。