2021年1.5可测集与可测函数(讲义).docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义 1.5.1 设 X 为基本空间， R 为 X 上的 代数，且 XU E ，E R就 称 ( X 、 R)为 可 测 空 间 (measurable space) ， R 中 的 元 素 E 为 ( X 、 R)上 的 可 测 集1(measurable set) ； 特殊地，当 X R 1 ， R L 时，称(R 、 L ) 为 Lebsgue 可测空间 ； Lebsgue 可测空间上的可测集称为 Lebsgue 可测集 ；当 X R 1 ，R S(R0 ) =B 时，称(R 1 、 B ) 为 Borel 可测空间 ； Borel 可测空间上的可测集（ 即： Borel 集） 称为 Borel 可测集 .注 定义可测空间. 可测集时， 严格地说， 并不要求在 代数 R 上已经具有某个测度， 即把可测空间.可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已为通行的看法；定义 1.5.2 设 ( X 、 R) 为可测空间， E X ， f 为定义在 E 上的有限实函数；如对一切实数 c ，集E(c f) { x c f ( x)、x E}都为 ( X 、 R) 上的可测集（即：E(c f )R ），就称 f 为 E 上 关于 R 的可测的函数 ，简称 E 上的 可测函数 (measurable function) ；特殊地，当 ( X 、 R) (R1、 L) 时，称 f 为 E 上关于 L 的 Lebsgue 可测函数 ；当 ( X 、 R) (R1 、 B ) 时，称 f 为 E 上 关于 B 的 Borel 可测函数 ；定理 1.5.1 设 ( X 、 R) 为可测空间， f 为定义在 E X 上的有限实函数；就 f 为 E 上的可测函数的充分必要条件为：对任意实数c、 d ，集E(c f d )为可测集；证 设 f 为可测函数，由于E(c f d )E(c f )E(d f ) ，1第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -而 E(c f) 和 E( d f) 都为可测集，所以E(c f d ) 为可测集；反之，如已知对任意实数c、 d ，集E(c f d ) 为可测集，就由E(c f )UE( c f c n)n 1立刻得E(c f ) 为可测集； 证毕！例 1.5.1 定义在闭区间 E[ a、b] 上的任何一个连续函数 f 都 为 E 上的 Lebsgue 可测函数；证 对任意实数 c ，由 f 的连续性，集E(c f) { x c f ( x)、 x[a、b]}为 [a、b] 中的闭集 （自习），因此E( c f) 为可测集；故 f 都为 [a、b] 上的可测函数；例 1.5.2 设函数 f 定义在 E( 、 ) 上，ai 、 bi (i1、2、L、 n) 为一组互不相交的区间，函数f ( x)i 、 x ai 、 bi (i1、2、L 、 n)、n0、 x ( 、 ) U ai 、 bii 1称为 阶梯函数 ，它为 E 上的 Lebsgue 可测函数；证 由于对任意实数 c ，E(c f) { x c f( x)、 x( 、 )}或为全直线，或为空集，或为有限个区间的并，而这些都为 Lebsgue 可测集，所以 f 为( 、 ) 上的可测函数；例 1.5.3 设 ( X 、 R)为 可 测 空 间 ，E、 EiR ， i1、2、 L 、 n， U EiE ， 且Ei I E j、 i ji 1. f 为定义在 E 上的函数，且f (x)i 、 x Ei(i 1、2、Ln、 n)、0、 x XU Ei 、i 1就 f 为 E 上的可测函数；2第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 1.5.4 (不行测函数的例 )( R1、 L) 为 Lebsgue 可测空间， Z 为 Lebsgue 不行测集，f ( x) 为、xR2Z 的特点函数Z ( x) ， x R1 . 由于R121 Z x Z( x) 1 1 Z为 Lebsgue 不行测集，所以函数Z ( x) 不为R1 上的 Lebsgue 可测函数；例 1.5.5 也有这样的可测空间 ( X 、 R) ，定义在 X 上的全部函数都为可测函数；例如，取 R2X（此时 R 为一个 代数）， f 为定义在 X 上的任意一个有限实函数，对任意实数 c ，明显X (c f) { x c f( x)、x X} R ，故 f 为 X 上的可测函数；1.5.2 可测函数的性质定理 1.5.2 设 (X 、 R) 为可测空间， f 为定义在 E X 上的有限实函数，就(1) 如 f 为 E 上的可测函数，就 E 必为可测集；反之不然 （为什么？） ；(2) 如 f 为 E 上的可测函数， E1E 可测，当 f 作为E1 上的函数时， f 为 E1 上的可测函数；(3) 设E1 I E2、 E1 U E2E ，如E1、E2 为可测集，就 f 为 E 上的可测函数的充分必要条件为： f 为E1、E2 上的可测函数；(4) 集 E 为可测集的充分必要条件为：集 E 的特点函数E ( x) 为 X 上可测函数；证 (1) 由于E UE (n f ) ，n 1而依据可测函数的定义，集E ( n f ) 为可测集，所以 E 为可测集；反之不然；由于对EL 且m( E) 0 ，都存在 FE、F L . 如 E L ，其任意子集都 L ，就 m( E) 0 .(2) 对任意实数 c ，由于 E1 (cf ) E( c f ) I E1 ，而E(cf ) 和 E1 都为可测集，所以3第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -E1 (c f) 为可测集，即 f 作为E1 上的函数时，它为E1 上的可测函数；(3) 设 f 为 E 上的可测函数，由 (2)知： f 为 E1、 E2 上的可测函数；反之，如 f 为E1 、E2 上的可测函数，对任意实数 c ，由于E (c f )E1 (c f) U E2 (c f ) ，所以 E(c f ) 为可测集，即 f 作为 E 上的可测函数；(4) 必要性：设集 E 为可测集；由于、 c 1、X (cE (x))E、 0c 1、X 、 c 0、而 、 E、 X 都为可测集，所以E ( x) 为 X 上的可测函数；充分性：设E (x) 为 X 上的可测函数；由上面的式子知，当 0c 1 时，E X (c E ( x)) .而 E ( x) 为 X 上的可测函数，故X (cE ( x)) 为可测集，即 E 为可测集；证毕！注 性质 (3)可以推广到有限个或可列个可测集E1 、 E2 、L、 En 、L ，并且Ei I Ej的情形；定理 1.5.3 设 ( X 、 R)为可测空间， f 为定义在 E X 上的有限实函数，就下面三个条件中的任何一个都为 f 为 E 上的可测函数的充分必要条件：(1) 对任意实数 c ，E (c f) 为可测集；(2) 对任意实数 c ，(3) 对任意实数 c ，E ( f c) 为可测集； E ( f c) 为可测集；定理 1.5.4 设 ( X 、 R)为可测空间， E X ，f 、 g 都为 E 上的可测函数，就(1) 对任意实数 ， f 为 E 上的可测函数；(2) f g 为 E 上的可测函数；(3) f g 及 f g （对x E、g( x) 0 ）为 E 上的可测函数；(4) max(f 、 g )、 min(f 、 g ) 都为 E 上的可测函数；推论 1 设 ( X 、 R ) 为可测空间， E X ，f1 、f2 、L、 f n 都为 E 上的可测函数，就对任意实4第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -数 1、2 、L、 n ， 1 f1 2 f 2 Ln f n 为 E 上的可测函数；推论 2 设 ( X 、 R)为可测空间， E X ， f 为 E 上的可测函数， 就 f 为 E 上的可测函数；In fact 由 fmax( f 、f ) 知： f 为 E 上的可测函数；1.5.3 可测函数的极限定理 1.5.5 设 (X 、 R) 为可测空间， E X ，如 {fn }为 E 上的一列可测函数， 就当 {f n } 的上确界函数.下确界函数.上限函数.下限函数分别为有限函数时，它们都为 E 上的可测函数。