高数第一章 知识点总结.pdf

第一章第一章 一元函数的极限与连续一元函数的极限与连续1 基本知识点基本知识点: 1. 函数运算 2. 求数列或函数的极限 3. 利用已知极限求极限 4. 无穷小量的比较 5. 确定极限表达式中的参数 6. 函数的连续性（间断点） 7. 确定分段函数中的参数 8. 证明方程存在根 1. 函数运算函数运算 知识点及题型知识点及题型: 1) 已知( )f x，( )g x，求 ( )f g x (特别是分段函数情形). 2）求反函数(特别是分段函数情形). 3) 已知 ( )f g x，求( )f x (变量代换法). 4）求值域(可借助连续函数的性质，转化为求最值). 往年考题往年考题: (13-14)已知()132+=+xxexf，则()=+xfln1_ (12-13) 已知( )=0,ln0,sinxxxxxf，( )xxxg+=，则( )fg x= (11-12) 已知()132+=+xxexf，则()=+xfln1 (10-11) 函数)1 (2sin)(2xxxf+=的值域是_ (09-10) 函数+=0,0,1xexxyx的反函数是=y_ 2. 求数列或函数的极限求数列或函数的极限 知识点及题型知识点及题型: 1WXD-2014.10.16 1. 极限的四则运算法则 极限的四则运算法则是最基本也是最重要的公式，几乎所有的求极限题目中都会用到，所以要牢记；另外，一定要注意，使用的前提是极限存在！ ！ ！ 无论是加减运算，还是乘除运算，都只适用于有限项。

遇到无限项乘积或者之和的极限时，先进行合并计算，再求极限 2. 单调有界准则和夹逼准则 含有阶乘、乘方形式的数列极限 对数列的通项有递推关系时，可考虑使用单调有界准则 数列的通项为 n 个因子和或乘积的极限 3. 利用两个重要极限 ( )0sin ( )lim1( )xxx=，注意极限的特征为00型； ( )( )1lim1( )xxex+=或()1( )( )0lim 1( )xxxe+=，注意极限的特征为1型 4. 等价无穷小代换 常用的等价无穷小 ( )0 x时 sin ( ) ( )xx，arcsin ( ) ( )xx，tan ( ) ( )xx，arctan ( ) ( )xx， 2( )1 cos ( ) 2xx， ()ln 1( ) ( )xx+，()( )log1( ) lnaxxa+，( )1( )xex，( )1( )lnxaxa， ()1( )1( )xx+ 此外 3( )( )sin ( ) 6xxx，3( )tan ( )( ) 3xxx，3( )tan ( )sin ( ) 2xxx，3( )arcsin ( )( ) 6xxx，3( )( )arctan ( ) 3xxx 必须注意：在替换过程中，无穷小量是以因式的身份出现的。

5. 左右极限 分段函数在分段点处的极限(含绝对值的函数要先化为分段函数) 含1xa，1arctanx，1arccotx的函数 6. 对数极限法 主要处理幂指函数的极限 7. 函数的连续性及变量代换法 例 1.) 1(lim12xexxx(提示：倒代换) 例 2.21limln(1)xxxx+ 例 3.nnn)14tan(lim+ 例 4.1402sinlim|1xxxexxe+ 往年考题往年考题: (13-14) =+xxxxxsin11sinlim_ (12-13) ()=xxx2tan12lnlim1 (12-13) 计算()1lim 1 35nnnn+ (11-12) =+xxxx12lim (11-12) 求极限()113lim+xxxxe (08-09) 设0ab+=0103xxxaxxfxa在其定义域上连续，则=a 3ln (09-10) 已知( )()=0,0,cos21xaxxxfx在0=x处连续，求a值 (08-09) 设21, |( )2, |xxcf xxcx+=在(,) +内连续，则c = 8. 证明方程存在根证明方程存在根 1. 构造辅助函数，利用零点定理或介值定理. 例 1. 证明方程sinxaxb=+(0,0ab)至少有一个正根，并且它不超过ab+. 例 2. ( ) , ,( ),( ).( , ),( ).设函数在区间上连续且证明使得设函数在区间上连续且证明使得f xa bf aa f bba bf = = 例 3. ( )f x在 , a b上连续，且恒为正，证明对于任意的1212,( , ),x xa b xx并存在一点 , a b使12( )() ()ff xf x=. 。