中职数学基础模块上册语文版教学分析第八单元直线与圆的方程.doc

第八章 直线与圆的方程一　教学要求1．理解两点间距离公式和中点公式．2．理解倾斜角和斜率的概念，理解直线方程及直线方程的一般式．3．掌握直线方程的点斜式与斜截式．4．了解求两条直线交点的方法和计算点到直线的距离公式．5．理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．6．掌握圆的标准方程和一般方程．7．理解直线与圆的关系．8．要加强本单元知识与工程问题的联系，使学生体验解析几何的应用，并掌握解析几何知识的简单应用．9．通过本单元知识的学习及“解析法”的运用，培养学生数学思维能力及分析、解决问题的能力．二　教材分析和教学建议（一）编写思路1．删繁就简，精心编排本单元教材从两个基本公式讲起，在直线方程部分，在倾斜角和斜率两个重要概念的基础上，介绍了直线方程的点斜式、斜截式及一般式．接着给出了求两条相交直线交点的方法，两条直线平行的条件和两条直线垂直的条件，最后是点到直线的距离；在圆的方程部分，首先，给出了曲线与方程的知识，在此基础上，介绍了圆的标准方程和圆的一般方程．本单元的最后给出了直线与圆的位置关系及直线与圆的应用．2．降低难度，贴近学生实际从学生数学的实际水平出发，降低教材起点，将解析几何中的两个基本公式，即两点间距离公式和中点坐标公式写入教材，作为全章的起点．同时将例题、练习题、习题和作业题的难度降低，删去传统教材中那些难的和较难的题目，减少题目类型和数量，突出主要题型．教材选择解析几何中最基础最经典的内容编写，而没有编入直线方程的点法式、两条直线的夹角、二元一次不等式表示的平面区域等内容．3．淡化论证，强化计算教材对定理的证明过程和公式的导出过程进行了淡化处理，更多的是强调定理和公式本身，强调其结论的重要性．而例题、练习题、习题和作业题都以计算题为主，强调学生对定理会用、用公式会算．从而提高学生对定理和公式的使用能力．4．解析法是全单元的主线借助直角坐标系，利用代数方法研究几何问题的方法叫做解析法．解析法的基础是在直角坐标系中：（1）建立点与有序实数对之间的一一对应关系；（2）建立曲线与方程之间的一一对应关系．解析几何中两个重要问题是：（1）已知曲线求它的方程；（2）已知方程画出它的曲线．通过本单元教学让学生对解析几何的基本思想有所了解和领悟，并初步掌握解析法．另外，待定系数法是数学中一种重要的思想方法，教材通过例题详细进行了讲解，并利用试一试引导学生对这个方法进行了总结．5．重点与难点本单元教材的重点是直线的方程与圆的方程的概念、用“解析法”解决与直线、圆相关的实际问题， 次重点是直线的平行与垂直．本单元教材的难点是求直线与圆的方程及用“解析法”解决与直线、圆相关的实际问题．（二）课时分配本单元教学约需18课时，分配如下（仅供参考）：8．1两点间距离公式及中点坐标公式 约1课时8．2直线的点斜式和斜截式方程 约3课时8．3直线的一般式方程 约1课时8．4两条直线的位置关系 约3课时8．5点到直线的距离公式 约1课时8．6圆的方程 约5课时8．7直线与圆的位置关系 约2课时8．8直线与圆的方程的简单应用 约1课时归纳与总结 约1课时（三）内容分析与教学建议8．1　两点间距离公式及中点坐标公式1. 两点间距离公式（1）数轴上两点A，B的距离公式︱AB︱=︱x2－x1︱是推导坐标平面上两点间距离公式的基础，在教学中可以利用不完全归纳法，通过实例来验证，归纳，总结得到结论，使学生能认可，并掌握这个就公式. 数轴上两点A，B的距离公式放在平面直角坐标系中，就成了两个，即在x轴上是︱AB︱=︱x2－x1︱，在y轴上是︱AB︱=︱y2－y1︱. 同时，与x轴和y轴平行的直线上的两点距离也适合这个公式. （2）在讲解两点间距离公式之前，需要复习一下勾股定理，它是推导两点间距离公式的主要依据. （3）两点间距离与两点的顺序无关，体现在公式上就是＝.2．中点坐标公式（1）在教材中，中点坐标公式是利用平面几何中的平行线性质来导出的，以往的教材大多是利用定比分点公式得出，但由于这套教材中没有安排定比分点的内容，因此采用了目前的导出方法．（2）数轴上两点的中点坐标公式是坐标平面上两点的中点坐标公式的导出基础，因此首先搞清数轴上两点的中点坐标公式的由来十分必要．在教学中可以利用不完全归纳法，通过实例来验证，归纳，总结得出结论，更可以让学生动手练习，参与其中．（3）对于中点坐标公式，除了正向应用外，还应做一些反向应用的训练，以使学生能全面掌握这个公式．8．2　直线的点斜式和斜截式方程1. 直线的倾斜角和斜率（1）确定一条直线在坐标平面中的位置，可以用两点来确定，也可以用一点及给定的方向来确定，这后一种方法十分重要，因为用两点确定这些的位置时，也要转化成用方向来确定，因此直线的方向是确定这些位置的要素之一. 倾斜角、斜率都是反映这直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，它们的大小都可以确定直线的方向. 由于斜率可以用两点的坐标来计算，因此在研究直线时，使用斜率比使用倾斜角更为方便.  在研究两条直线的位置关系时，斜率是重要的依据. 因此，搞好斜率公式的教学是学生掌握直线有关知识的关键. （2）倾斜角是一个重要概念，有些学生不能准确地掌握它，关键是对它的定义缺乏全面细致的理解，教学时要逐步讲清定义中的下述问题：首先可提出问题：在直角坐标系中，过已知点P的任何一条直线，对x轴的相对位置有哪几种情况？可根据学生的回答归纳出如图8-1所示的四种情况. 图8­1教师告诉学生，这四种情况都可以用直线l与x轴所成的角来描述．对于图中的（1），（2），（3），我们规定：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于平角的正角叫做这条直线的倾斜角．对于图中的（4）则规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°角．在得到直线倾斜角的定义之后，需作下述分析：①定义中包含三个条件：直线向上的方向；x轴的正方向；最小正角．这三个条件缺一不可．②“直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°角”，这个规定是倾斜角定义的一个重要组成部分．③倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°. ④根据倾斜角的定义，平面直角坐标系内，任何一条直线都有唯一的倾斜角．反之，直线倾斜角的大小确定了直线的方向．也就是说，直线的倾斜角客观地表示了直线对x轴的正方向的倾斜程度．在求直线的倾斜角α时，要特别注意α是钝角的情况，学生往往会在此出现错误．（3）有关直线的斜率，可作如下分析：①直线的斜率k是一个数值，它可以是任何实数．②用倾斜角α的正切，即tanα表示直线的倾斜程度最方便，因此不用α的其它三角函数表示．③当倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在，但并不是直线不存在，此时直线平行于y轴或与 y轴重合．对于此种特殊情况必须给予足够重视，就是说，直线有倾斜角未必有斜率，但直线有斜率时必有倾斜角．④当倾斜角α从0°变化到180°（不包括180°）时，它的斜率变化情况如下：α＝ 0°时，k＝0； 0°＜α＜90°时，k＞0； α＝90°时，k不存在； 90°＜α＜180°时，k＜0. （4）在推导出过两点的直线的斜率公式后可向学生指出：① 斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时交换．②斜率公式表明，直线对于轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不必求出直线的倾斜角，因而，使用时比较方便．③当x1＝x2，y1≠y2，（即直线与x轴垂直）时，直线的倾斜角α＝90°，斜率不存在．④在同一条直线上的任何两点所确定的斜率都相等，这是直线斜率的一个重要性质．在求直线斜率时，应尽量使用坐标数值较简单的点．⑤斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且要会灵活运用．2．直线方程的点斜式（1）在平面内，确定一条直线的位置，除初中平面几何中学过的，利用两点可以确实一条直线外，利用直线上的一点与直线的方向，也可以确定一条直线．在直线方程的教学中，要解决的问题是，如何根据直线的某些几何特点来确定直线的方程，如何根据给定的直线方程确定直线的基本特点．确定直线方程的条件，尽管有所不同，按已知条件分类，实质上只有两类，一是已知直线上一个点的坐标和这条直线的斜率；二是已知直线上的两个点的坐标．由于第二类条件可以转化为第一类条件（由两个已知点求出直线的斜率后就可以转化为一个点和斜率），所以确定直线方程的条件，都可以归结为已知直线上的一点和直线的斜率．因此，直线方程的四种形式：点斜式，斜截式，两点式，截距式中，我们突出点斜式的教学和运用．直线方程的其他形式都可以看做是点斜式的推论，这样做不仅适合中职学生的实际水平，减轻学习负担，也可以加深和促进学生对斜率的理解和运用，使重点知识更加突出．（2）在推导直线方程的点斜式时，应使学生了解：①建立点斜式的主要依据是直线上任意一点与这条直线上一个定点所确定的斜率都相等，并且就是这条直线的斜率．② 在得出方程＝k后，必须要把它化成方程y－y1＝k（x－x1），因为前者须有x≠x1，即表示直线上缺少点P1（x1，y1）．而后者才是整条直线的方程．③点斜式y－y1＝k（x－x1）是过一点沿一指定方向可以确定一条直线的解析表达式．其中，（x1，y1）是直线上的一点，k是直线的斜率．对于具体的直线来说，（x1，y1）可以用直线上的另外的点来代替，但k不能改动．（3）教材没有给出直线方程的两点式，只是要求学生遇到条件：“已知直线上的两个点的坐标”时，能先利用两点坐标求出直线斜率，然后将其转化为条件“已知直线上的一点的坐标和斜率”再运用点斜式写出直线方程．3．直线方程的斜截式（1）直线的斜截式方程的重要性并不在于在特定条件下运用它求直线方程比较方便，而在于：①它与学生熟悉的一次函数解析式的形式相同，学生易于根据它来研究直线的特点．但这里需注意，虽然斜截式方程与一次函数解析式的形式相同，但它们也有不同，即一次函数解析式要求k≠0，而斜截式却没有这个要求．②方程中的k和b有明显的几何意义，即k是斜率，b是直线在y轴上的截距．因而，我们常用斜截式来研究直线的位置．（2）斜截式中的截是直线在y轴上的截距的简称，这里要注意：① 截距是坐标的概念，因为它是指直线与y轴交点的纵坐标．因此截距可正，可负，可零．学生常常会误认为截距是距离的概念，因为它里面有个距字，这是在教学中需要强调的．②考虑到学生的实际水平，教材没有给出横截距的概念，习题中也未涉及，以免增加难度，教学中也不必补充．8．3　直线的一般式方程1．本节重点在于建立直线和二元一次方程的对应关系，从而指出二元一次方程的一般形式Ax＋By＋C＝0就是直线方程的一般形式．建立上述关系，必须解决两点：（1）任何一条直线的方程都可以写成关于x，y的二元一次方程；（2）任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．在论证（1）时，以直角坐标系中每一条直线都有倾斜角为依据，分为α≠90°和α＝90°两种情况加以研究．当α≠90°时，直线方程可以写成y＝kx＋b；当α＝90°时，直线方程可以写成x＝x1. 这两种形式都可以变形为Ax＋By＋C＝0的形式，其中A，B不同时为零．教师可以作下述总结：直线二元一次方程在论证（2）时，因为方程Ax＋By＋C＝0中，A，B不同时为零，所以将方程分为B≠0和B＝0两种情况加以研究． 当B≠0时，方程可化为y＝－x－； 当B＝0时，方程可化为x＝－. 这两种方程，一是直线的斜截式方程，一是与y轴平行或重合的直线方程． 教师可以作下述总结：二元一次方程（Ax＋By＋C＝0）直线在讲解中，要使学生弄清为什么要论证两点，论证中为。