空间垂直关系的相互转化.docx

空间垂直关系的相互转化山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰空间的垂直关系包括线线垂直，线面垂直，面面垂直解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质 将三者或其中的两者进行合理的转化线线垂直，线面垂直，面面垂直三者之间的关系可以用下图来表示：线线垂直(1) 、线而垂直(3)、面面垂直 / M 7 (2)(4)其中：（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面.（2）如果一条直线和一个平面垂直那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（4）面面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另 一个平面+下面我们通过几个例子来看一下在具体题目中是如何进行转化的例1、设ABCD是空间四边形，AB = AD,CB = CD .求证：AC丄BD.【证明】如右图，设BD的中点为K，连结AK,CK .Q AB 二 AD，K为BD 的中点，二 AK 丄 BD 同理CK丄BD.又AK I CK = K,・•・BD丄面AKC,又 AC u 面AKC,・ BD 丄 AC.【点悟】（1）证明线线垂直问题往往转化为线面垂直来解决；直线垂直于平面，则这条直线垂直于这个平 面内的所有直线，这是证明线线垂直的一条有效途径。

2）本题的转化过程为线线垂直一线面垂直一线线 垂直例2、如右图，已知平面PAB丄平面ABC，平面PAC丄平面ABC，AE丄平面PBC，E为垂足.（1） 求证：PA丄平面ABC ；（2） 当E为APBC的垂心时，求证：AABC是直角三角形.【证明】(1)如右图，在平面ABC内取一点D，作DF丄AC于F .Q平面PAC丄平面ABC，且交线为AC ,・•・DF丄面PAC, PA u平面PAC.・•・DF丄PA.作DG丄AB于G .Q平面PAB丄平面ABC，且交线为AB ,・DG丄 面PAB, PA u平面PAB.・DG丄AP.又 DG, DF u 面ABC,・ PA 丄面ABC.(2)连结BE并延长交PC于H .Q E是APBC的垂心，・PC丄BE.又Q AE 丄平面PBC，・ AE 丄 PCQ AE, BE u 面ABE且AE I BE = E,・ PC 丄面ABE，・PC丄AB,又Q PA丄平面ABC，. PA丄AB，・ AB丄平面PAC，・ AB丄AC,^卩AABC的直角三角形点悟】(1)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可 得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直就转化为线面垂直。

由本题也可得到这样的结论：两个相交平 面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面2)本题的第二问实际上就是线线垂直和线面垂直之间的相互转化例3、已知P是菱形ABCD所在平面外的一点，PA = PC,PB = PD.求证：(1)面PAC丄面ABCD ；(2)面PAC 丄面PBD.【证明】(1)如右图，设菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O，连结PO.Q PA = PC,・ PO 丄 AC.同理PO 丄 BD・•・PO丄面ABCD, PO u面PAC,・面PAC丄面ABCD.(2) Q PO 丄 AC, AC 丄 BD,PO I BD = O,・ AC 丄面PBD又AC u面PAC,・面PAC丄面PBD.【点评】(1)证面面垂直一般要利用面面垂直的判定定理，在其中的一个面内找(作)另一个面的垂线， 这样将证明面面垂直的问题转化为找(证)线面垂直，进而转化为线线垂直的问题2)本题的转化思路 为线线垂直一线面垂直一面面垂直.。