最新03 第三节 数量积 向量积 混合积.doc

第三节数目积向量积混杂积散布图示★两向量的数目积 ★数目积的运算★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5★向量积观点的引入 ★向量积的界说★向量积的运算★例6 ★例7 ★例8★例9 ★例10★向量的混杂积 ★混杂积的多少何意思★例11 ★例12 ★例13★内容小结★讲堂训练★习题8-3 ★前往内容要点一、两向量的数目积界说1设有向量、，它们的夹角为，乘积称为向量与的数目积〔或称为内积、点积〕，记为，即.依照数目积的界说，能够推得：〔1〕;〔2〕;〔3〕设、为两非零向量，那么的充沛须要前提是.数目积满意以下运算法则：〔1〕交流律〔2〕调配律〔3〕联合律,〔为实数〕.二、两向量的向量积界说2假设由向量与所断定的一个向量满意以下前提：〔1〕的偏向既垂直于又垂直于,的指向按右手规那么从转素来断定〔图8-3-4〕；〔2〕的模，(此中为与的夹角)，那么称向量为向量与的向量积〔或称外积、叉积〕，记为.依照向量积的界说，即可推得〔1〕；〔2〕设、为两非零向量，那么的充沛须要前提是.向量积满意以下运算法则:〔1〕〔2〕调配律〔3〕联合律,〔为实数〕.三、向量的混杂积例题选讲两向量的数目积例1(E01)已经知道求(1)(2)与的夹角;(3)与上的投影.解(1)(2)(3)例2证实向量与向量垂直.证例3试用向量办法证实三角形的余弦定理.证如下图(见零碎演示),设在中,现要证记那么有从而由即得例4(E02)设与垂直,与垂直,求与之间的夹角.解因而,即(1)又因而即(2)联破方程(1),(2)得因而，例5(E03)设液体流过平面S下面积为A的一个地区,液体在这地区上各点处的流速均为(常向量)v.设n为垂直于S的单元向量(图7-3-3a),盘算单元时间内经过这地区流向n所指一方的液体的品质P(液体的密度为).解如图(见零碎演示)，单元时间内流过这地区的液体构成一个底面积为、歪高为的歪柱体,这柱体的歪高与底面的垂线的夹角确实是与的夹角因而这柱体的高为体积为从而，单元时间内经过这地区流向所指一方的液体的品质为两向量的向量积例6(E04)求与都垂直的单元向量.解例7在极点为跟的三角形中,求AC边上的高BD.解三角形的面积为又因而从而例8设向量两两垂直,伏隔右手规那么,且盘算解依题意知与同向,例9(E05)设刚体以等角速率绕l轴扭转,盘算刚体上一点M的线速率.解刚体绕轴扭转时，咱们能够用在轴上的一个向量表现角速率，它的巨细即是角速率的巨细，它的偏向由右手规那么写出:即右手握住轴,当右手的四个手指的转向与刚体的扭转偏向分歧时，年夜拇指的指向确实是的偏向，如图，设点至扭转轴的间隔为再在轴上任取一点作向量并以表现与的夹角，那么设线速率为那么由物理学上线速率与角速率的关联可知,的巨细为的偏向垂直于经过点与轴的平面，即垂直于与又的指向是使契合右手规那么.因而有例10应用向量积证实三角形正弦定理.证设的三个内角为三边长为,如图(见零碎演示).由于，因而故即双方取模即故同理可证因而三角形正弦定理得证.向量的混杂积例11(E06)已经知道,盘算解例12(E07)已经知道空间内不在统一平面上的四点求四周体的体积.解由平面多少何知，四周体的体积即是以向量、、为棱的平行六面体的体积的六分之一:式中正负号的选择必需跟行列式的标记分歧例13已经知道,求一单元向量使,且与此同时共面.解设所求向量依题意与共面，可得(1)即(2)即(3)将式(1)式(2)与式(3)联破解得或或或因而讲堂训练1.已经知道向量证实2.已经知道两两垂直,且求的长度与它跟的夹角.。