数值分析8-高斯型求积公式.ppt

第第2章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 高斯型求积公式高斯型求积公式高精度的求积公式高精度的求积公式考虑积分考虑积分将节点将节点 x0 , … , xn 以及系数以及系数 A0 , … , An 都作为待定系数都作为待定系数令令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式具代入可求解，得到的公式具有有2n+1 次代数精度次代数精度能否利用能否利用 n+1 个节点个节点 x0 ,… , xn 构造出具有构造出具有 2n+1 次次代数精度的求积公式代数精度的求积公式？？举例（一）举例（一）q 例：例：试确定试确定 x0 , x1 以及系数以及系数 A0, A1，使得下面的求积，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度公式具有尽可能高的代数精度 解：解：将将 f (x) = 1, x, x2, x3 代入，使其精确成立得代入，使其精确成立得解得解得不是线性方程不是线性方程组，不易求解组，不易求解高斯点与高斯公式高斯点与高斯公式定义定义 若若存存在在节节点点 xi  [a, b]及及求求积积系系数数 Ai ，，使使得得下下面面的的求求积积公公式式具具有有 2n+1 次次代代数数精精度度，，则则称称节节点点 xi 为为高高斯斯点点，，Ai 为为高斯系数高斯系数，求积公式为，求积公式为高斯高斯(Gauss)求积公式求积公式。

注：注：(1)(1)Gauss求积公式仍然是求积公式仍然是插值型插值型求积公式；求积公式； (2) (2)Gauss系数可通过系数可通过Gauss点和点和Lagrange基函数基函数得到；得到；高斯点的确定高斯点的确定定理定理 节节点点 xi (i = 0, 1, … , n) 是是求求积积公公式式(2-30)的的Gauss点点的的充充要要条条件件是是：：多多项项式式 与与任任意意次次数不超过数不超过 n 的多项式的多项式 p(x) 正交，即正交，即且高斯系数且高斯系数 Ai 为为其中其中 li 为以节点为以节点 xi 为节点的为节点的 Lagrange 基函数 高斯点的确定高斯点的确定证明：证明： “” x0 … xn 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度次代数精度对任意次数不大于对任意次数不大于n 的多项式的多项式 p (x)，， p (x) w(x) 的次数不大的次数不大于于 2n+1，，则代入公式应精确成立：则代入公式应精确成立：0= 0 “” 要证明要证明 x0 … xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意次点，即要证公式对任意次数不大于数不大于2n+1 的多项式的多项式 p(x) 精确成立，即证明：精确成立，即证明：设设0 高斯公式代数精度高斯公式代数精度定理定理 用用 n+1 个点个点 x0 , … , xn 构造的插值型求积公式构造的插值型求积公式的代数精度不超过的代数精度不超过 2n+1。

即即Gauss公式公式是是插值型插值型求积公式中求积公式中代数精度最高代数精度最高的Gauss-Legendre 公式公式设设 f (x)  C[-1, 1] ，，考虑考虑 Gauss型型 求积公式求积公式在在 [-1, 1] 上上的正交多项式为的正交多项式为Legendre多项式多项式取其取其 n+1 个零点作为个零点作为 Gauss 点点，即可得，即可得Gauss-Legendre 求积公式求积公式G-L 公式的余项公式的余项定理定理设设 f (x)  C 2n+2[-1, 1] ，，则则 G-L求积公式求积公式的余项为的余项为几个简单的几个简单的 G-L 公式公式n = 0: Pn+1(x) = x, x0 = 0, A0 = 2 n = 1: Pn+1(x) = (3x2 - 1)/2, A0=A1=1 n = 2: Pn+1(x) = (5x3 - 3x)/2, 两点两点G-L公式公式三点三点G-L公式公式G-L公式的公式的Gauss系数系数定理定理G-L求积公式中的求积公式中的 Gauss点为点为 Pn+1(x) 的的 n+1 个零个零点，点，Gauss系数为系数为(i = 0, 1, … , n)更多更多 G-L 公式公式当当 n > 3 时，可用数值方法计算时，可用数值方法计算 Pn+1(x) 的零点的零点 (mygl.m)n节点个数节点个数Gauss点点Gauss系数系数010.0000000 2.000000012 0.5773503 1.000000023 0.7745967 0.0000000 0.5555556 0.888888934 0.8611363 0.3399810 0.3478548 0.652145245 0.9061798 0.5384693 0.0000000 0.2369269 0.4786287 0.568888956  0.93246951  0.66120939  0.23861919 0.17132449 0.36076157 0.46791393一般区间上的一般区间上的 G-L 公式公式设设 f (x)  C[a, b]作变量替换作变量替换 x = (b- a) t/2+(b + a)/2，则，则 t   [-1, 1] 其中其中 xi 和和 Ai 分别为分别为 Gauss点点 和和 Gauss系数系数。

AiG-L 公式的优缺点公式的优缺点q 与前面求积方法的比较与前面求积方法的比较ü复合梯形公式：用了复合梯形公式：用了 210+1 个节点达到个节点达到 7 位有效数字位有效数字üRomberg公式：用了公式：用了 9 个节点达到个节点达到 7 位有效数字位有效数字üG-L公式公式：用了：用了 3 个节点达到个节点达到 7 位有效数字位有效数字q G-L求积公式的优点：求积公式的优点：计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分q G-L求积公式的缺点：求积公式的缺点：需计算需计算Gauss点和点和Gauss系数；增加节点时需重新计算系数；增加节点时需重新计算q高斯求积公式的求积系数全是正的高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法且是稳定的算法例题例题1用用4点（点（n=3））的高斯的高斯-勒让德求积公式计算勒让德求积公式计算解解 先将区间先将区间[0，，π/2]化为化为[-1，，1]，可以得到，可以得到例题例题2套用三点高斯公式计算积分套用三点高斯公式计算积分解解 作作变变换换x=2+t将将积积分分区区间间变变到到[-1，，1]，，然然后后套套用三点高斯高斯公式有用三点高斯高斯公式有2.5 数值微分数值微分数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。

点的导数值按按照照数数学学分分析析的的定定义义，，导导数数 f′（（a））是是差差商商当当 [f(a+h)-f(a)]/h当当h→0时时的的极极限限.如如果果精精度度要要求求不不高高，，我我们们可可以以简简单单地地取取差差商商作作为为导导数数的的近近似值，这样便建立起一种简单的数值微分方法似值，这样便建立起一种简单的数值微分方法 插商公式插商公式为要利用中点公式计算导数值 f′（a），首先必须选取合适的步长.为此需要进行误差分析.分别将 f（a ±h）在 x=a 泰勒展开有 中点公式中点公式代入上式得代入上式得由由此此得得知知，，从从截截断断误误差差的的角角度度来来看看，，步步长长越越小小，，计算结果越准确计算结果越准确.且且 中点公式的误差中点公式的误差再再考考察察舍舍入入误误差差.按按中中点点公公式式计计算算，，当当 h 很很小小时时，，由由于于f（（a +h））与与 f（（a -h））很很接接近近，，直直接接相相减减会会造造成成有有效效数数字字的的严严重重损损失失.因因此此从从舍舍入入误误差差的的角角度来看，步长是不宜太小的度来看，步长是不宜太小的.综综上上所所述述，，步步长长过过大大，，则则截截断断误误差差显显著著；；但但如如果果步步长长太太小小，，又又会会导导致致舍舍入入误误差差的的增增长长，，在在实实际际计计算算时时，，我我们们希希望望在在保保证证截截断断误误差差满满足足精精度度要要求求的的前前提提下下选选取取尽尽可可能能大大的的步步长长，，然然而而事事先先给给出出一一个个合合适适的的步步长长往往往往是是困困难难的的，，通通常常在在变变步步长长的的过过程程中实现步长的自动选择中实现步长的自动选择. 步长的选取步长的选取插值型的求导公式插值型的求导公式问题：问题：已知已知 f (x) 在节点在节点 x0 , … , xn 上的函数值，上的函数值， 如何计算在这些如何计算在这些节点节点处处导数的近似值导数的近似值？？方法：方法：插值型数值微分插值型数值微分先构造出先构造出 f (x) 的插值多项式的插值多项式 pn(x) ，，然后用然后用 pn(x) 的导数来近似的导数来近似 f (x) 的导数。

的导数多项式插值余项多项式插值余项两边求导得两边求导得 x   (x0 , xn)插值型的求导公式的误差插值型的求导公式的误差两点公式两点公式q 两点公式（等距）：两点公式（等距）：n = 1，，节点节点 x0 , x1 ，，步长步长 h = x1 - x0 所以所以两点公式两点公式三点公式（等距）三点公式（等距）q 等距三点公式：等距三点公式：n = 2，，步长步长 h ，，节点节点 xi = x0 + ih ，，i = 0, 1, 2令令 x = x0 + th ，，得得 所以所以分别令分别令 t = 0, 1, 2 ，，得得 三点公式三点公式三点公式（等距）三点公式（等距）q 等距三点公式：等距三点公式：所以所以三点公式（等距）三点公式（等距）q 例：已知函数例：已知函数 y = ex 的函数值表的函数值表xi2.52.62.72.82.9yi12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741试用两点和三点公式计算试用两点和三点公式计算 x = 2.7 处的一阶、二阶导数处的一阶、二阶导数解：两点公式：两点公式：取取 x0 =2.6，， x1 =2.7，，得得 若取若取 x0 =2.7，， x1 =2.8，，则则 例题例题1若取若取 x0 =2.5，， x1 =2.7，，则则 若取若取 x0 =2.7，， x1 =2.9，，则则 通常步长越小，误差也越小。

通常步长越小，误差也越小三点公式：取三点公式：取 x0 =2.6，， x1 =2.7，， x1 =2.8，，得得 例题例题1例题例题2证明下列数值微分公式具有证明下列数值微分公式具有4阶代数精度阶代数精度证 不妨设 ，否则施行变换 ，而考察下列数值微分公式考虑到对称性，上式对于偶函数的 等显然准确成立，又对于 上式左右两端也相等；再考察 ，这时左端=0而右端≠0，故原式有4阶精度例题例题2例题例题3例题例题3例题例题3。