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一种难找的珍珠——魅力无穷的完全数公元前 3 世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数 6 是人们最先认识的完全数发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现 6 的真因数 1、2、 3 之和还等于 6，他十分感兴趣地说：“6 象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念约公元前 300 年，几何大师欧几里得在他的巨著 《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理： “如果 2n－1 是一个素数， 那么自然数 2n-1 一定是一个完全数并给出了证明公元 1 世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128 这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和第 1 页千年跨一步完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。

可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振直到 1202 年才出现一线曙光意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》 ，成为 13 世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云光阴似箭， 1460 年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336这比起第四个完全数 8128 大了 4000 多倍跨度如此之大，在计算落后的古代可想发现者之艰辛了，但是，手稿里没有说明他用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑不解了发现非一帆风顺第 2 页在无名氏成果鼓励下， 15 至 19 世纪是研究完全数不平凡的日子，其中 17 世纪出现了小高潮。

16 世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头，落下了口吃的疾患，后来靠自学成为一位著名数学家他研究发现： 当 n＝ 2 和 n=3 至 39 的奇数时， 2n-1(2n-1)是完全数17 世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋 700 页的巨著《数的玄学》中，一口气列出了 28 个所谓“完全数”，他是在塔塔利亚给出的 20 个的基础上补充了 8 个可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的1603 年，数学家克特迪历尽艰辛， 终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的，同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数 216(217-1) 和 218(219-1) ，但他又错误地认为222(223-1) 、228（ 229-1 ）和 236（237-1 ）也是完全数这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了1644 年，法国神甫兼大数学家梅森指出，庞格斯给出的 28个“完全数”中，只有 8 个是正确的，即当 n＝2，3，5，7，13，17， 19， 31 时， 2n-1(2n-1) 是完全数，同时又增加了 n＝ 67， 127 和 257在未证明的情况下他武断地说：当 n≤257 时，只有这 11 个完全数。

这就是著名的“梅森猜测”梅森猜测”吸引了许多人的研究，哥德巴赫认为是对的；第 3 页微积分发现者之一的德国莱布尼兹也认为是对的他们低估了完全数的难度 1730 年，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年 23 岁，正值风华茂盛他出手不凡，给出了一个出色的定理：“每一个偶完全数都是形如 2n-1(2n-1)的自然数，其中 n 是素数， 2n-1 也是素数”，并给出了他一直没有发表的证明这是欧几里得定理的逆定理有了欧几里得与欧拉两个互逆定理， 公式 2n-1(2n-1) 成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了欧拉研究“梅森猜测”后指出：“我冒险断言：每一个小于50 的素数，甚至小于 100 的素数使 2n-1(2n-1) 是完全数的仅有 n 取 2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性1772 年，欧拉因过度拼命研究双目已经失明了， 但他仍未停止研究，他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明 n＝31 时， 230(231-1) 是第 8 个完全数同时，他发现他过去认为 n=41 和 n＝47 时是完全数是错误的。

欧拉定理和他发现的第 8 个完全数的方法，使完全数的研究发生了深刻变化， 可是，人们仍不能彻底解决“梅森猜测”1876 年，法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明 n＝ 127 时确实是一个完全数，这使“梅森猜测”之一变成事实，鲁卡斯的新方法给研究完全数者带来生机，同时第 4 页也动摇了“梅森猜测”因数学家借助他的方法发现猜测中n＝ 67，n＝ 257 时不是完全数在以后 1883—— 1931 年的 48 年间，数学家发现“梅森猜测”中 n≤257 范围内漏掉了 n＝ 61，89， 107 时的三个完全数至此，人们前仆后继，不断另辟新路径，创造新方法，用笔算纸录，耗时二千多年，共找到 12 个完全数，即 n＝ 2， 3，5，7，13， 17，19，31，61， 89，107，127 时， 2n-1(2n-1)是完全数笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事历史证实了他的预言从 1952 年开始，人们借助高性能计算机发现完全数， 至 1985年才找到 18 个，多么可怜！等待揭穿之谜迄今为止，发现的 30 个完全数，统统都是偶数，于是，数学家提出猜测：存不存在奇数完全数。

1633 年 11 月，法国数学家笛卡尔给梅森一封信中，首次开创奇数完全数的研究，他认为每一奇完全数必具有 PQ2的形式，其中 P 是素数，并声称不久他会找到，可不仅直到他死时未能找到，而且至今，没有任何一个数学家发现一个奇完全数它成为世界数论又一大难题虽然，谁也不知道它们是否存在，但经过一代又一代数学家第 5 页研究 算，有一点是明确的那就是如果存在一个奇完全数的 ，那么它一定是非常大的有多大呢？ 的不 ，当代大数学家奥 1018 以下自然数，没有一个奇完全数； 1967 年，塔克曼宣布， 如果奇完全数存在， 它必 大于 1036， 是一个 37 位数； 1972 年，有人 明它必大于 1050； 1982年，有人 明，它必 大于 10120；⋯⋯ 种 于捉摸的奇完全数也 可能有，但它 在太大，以至超出了人 能 用 算机 算的范 了 奇完全数是否存在， 生如此多的估 ，也是数学界的一大奇 ！关于完全数 有 多待揭之 ，比如：完全数之 有什么关系？完全数是有限 是无 多个？存在不存在奇完全数？人 完全数的一个奇妙 象，把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把 个数的各位数字加起来，又得到一个数， 一直 做下去， 果一定是 1。

例如， 于 28，2＋ 8＝ 10， 1＋ 0＝ 1； 于 496 有， 4＋ 9＋ 6＝ 19， 1+9＝ 10，1＋ 0＝ 1 等等 一 象， 除 6 外的所有完全数是否成立？以上 些 ，与其它数学 一 ，有待人 去攻克尽管我 在 看不到完全数的 用 ，但它反映了自然数的某些基本 律探索自然 律，揭开科学上的未知之 ，正是科学追求的目 第 6 页第 7 页 。