1无约束最优化问题的最优性条件培训讲学.ppt

第三章 最优性条件Optimality Conditions 所谓最优性条件，是指最优化问题的最优解所要满足的必要条件或充分条件，这些条件对于最优化算法的建立和最优化理论的推整都是至关重要的.p 无约束最优化问题的最优性条件p 等式约束最优化问题的最优性条件p 不等式约束最优化问题的最优性条件p 一般约束最优化问题的最优性条件第三章 最优性条件无约束最优化问题的最优性条件一阶必要条件定理3.1.1若为的局部极小点， 且在内一阶连续可微， 则注:(1)仅仅是必要条件，而非充分条件(2)满足的点称为驻点驻点分为：极小点，极大点，鞍点无约束最优化问题的最优性条件Stationary PointSaddle Point平稳点一阶必要条件无约束最优化问题的最优性条件：函数曲面在x*处的切平面是水平的.所谓x*是鞍点,从直观上说曲面在x*处沿某方向“向上弯曲”，而沿另一方向“向下弯曲”.定理3.1.2 若为的局部极小点， 且在内二阶连续可微， 则半正定无约束最优化问题的最优性条件二阶必要条件注: (1) 刻画了f(x)在x处切平面的法向.(2) 刻画了曲面f(x) 的弯曲方向.无约束最优化问题的最优性条件二阶必要条件(3) 定理3.1.2仅仅是必要条件而非充分条件.例在x0=(0,0)T处，有定理3.1.3若在 内 二阶连续可微， 且 正定, 则 为严格局部 极小点 注:(1)如果 负定, 则 为严格局部极大点 二阶充分条件无约束最优化问题的最优性条件(2) 定理3.1.3仅仅是充分条件而非必要条件.分析: x0=(0,0)T为其严格局部极小点. 但有例定理3.1.4 设在上是凸函数且在x*处一阶连续可微，则为的全局极小点的充要条件是无约束最优化问题的最优性条件凸优化问题-一阶充要条件定理3.1.5 设在上是严格凸函数，在x*处则为的惟一全局极小点.一阶连续可微，例1：利用极值条件解下列问题：解：令即：得到驻点：无约束最优化问题的最优性条件函数的Hesse阵：故，在点处的Hesse阵依次为：无约束最优化问题的最优性条件由于矩阵不定，则不是极小点负定， 则不是极小点，实际上它是极大点正定， 则是局部极小点无约束最优化问题的最优性条件。