中考数学思维方法讲义【第13讲】直线和圆的位置关系含答案.doc

△+△数学中考教学资料2019年编△+△第13讲 直线和圆的位置关系 圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点知识纵横】§Ⅰ直线和圆的位置关系： 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．⑴直线与圆相交d__ ____ r；⑵直线与圆相切d__ ____ r；⑶直线与圆相离d__ ____r§Ⅱ圆的切线：1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___；2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”： 一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点； 二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断； 三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。

4．四条性质：切线有许多重要性质 ⑴圆心到切线的距离等于圆的_ ____； ⑵过切点的半径垂直于_ ____； ⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过___ __； ⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过____ _ 5．弦切角 定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 推论 ：a)两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；b)弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半典例精析】考点1: 直线和圆的位置关系【例1】1、如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是__________．2、射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）．变式一：1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=．若动点D段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．（1）当点D运动到线段AC中点时，DE= ；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C与直线AB相切．2、如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠C=90°，且AB>AD+ BC，AB是⊙O直径，则直线CD与⊙O的位置关系为_____ _．考点2: 圆的切线的性质基本运用【例2】已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=，求EF的长．变式二：如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．考点3:切线的判定定理运用【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．【例5】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．变式三：如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．（1）求证：直线是的切线；CEBAOFD（2）连接交于点，若，求的值．【思维拓展】【例6】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F，过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．【例7】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．（1）当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．变式四：如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是所在⊙D的切线；（2）当MA=时，求MF的长；（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．【课后测控】1、如图1，，半径为1cm的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与也相切时，圆心移动的水平距离是__________cm．2、如图2，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是　　　　　　　　．图1 图2 图3 3、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．4、如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上。

①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是____________；②若正方形DEFG的面积为100，且ΔABC的内切圆半径=4，则半圆的直径AB = __________．5、如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D．(1) 求证：CD为⊙O的切线；(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．6、如图，直线经过⊙O上的点，并且，，⊙O交直线于，连接．（1）求证：直线是⊙O的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，⊙O的半径为3，求的长．7、如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．部分答案与提示：【例2】考点：切线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形． 分析：（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长；（2）由PE是⊙O的切线，易证得∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF；（3）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=13×=5，又由等腰三角形的性质，求得答案．解答：解：（1）连接OD，∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，∴OB=OA=4，BC=BD=CD，∴在Rt△OBD中，BD==4，∴CD=2BD=8；（2）∵PE是⊙O的切线，∴∠PEO=90°，∴∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，∵OE=OA，∴∠A=∠AEO，∴∠PEF=∠PFE，∴PE=PF；（2）过点P作PG⊥EF于点G，∴∠PGF=∠ABF=90°，∵∠PFG=∠AFB，∴∠FPG=∠A，∴FG=PF•sinA=13×=5，∵PE=PF，∴EF=2FG=10．H变式二：2.证明（1）连结OF∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH ……………1分∵FH∥BC ，∴OF垂直平分BC ………2分∴∴AF平分∠BAC …………3分（2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分H∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分∠FDB=∠FBD∴BF=FD ………………6分 （3）解： 在△BFE和△AFB中∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F∴△BFE∽△AFB ………………7分∴， ……………8分∴ ∴ ……………………9分 ∴ ∴AD== …………………10分【例4】考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA。