第2章牛顿运动定律.ppt

第第2章章 牛顿运动定律牛顿运动定律1Isaac Newton( (1642-1727) )2目目 录录§2.4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律§2.1 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性参考系惯性参考系§2.2 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律§2.3 功功 动能动能 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 §2.5 刚体定轴转动刚体定轴转动3§§2.1 牛顿定律与惯性参考系牛顿定律与惯性参考系一、牛顿定律一、牛顿定律 物体保持静止或匀速直线运动不变，除非物体保持静止或匀速直线运动不变，除非1、第一定律（惯性定律）、第一定律（惯性定律）““自由粒子自由粒子””总保持静止或匀速直线运动状态总保持静止或匀速直线运动状态更现代化的提法：更现代化的提法： ““惯惯性性””的的概概念念－－物物体体保保持持静静止止或或匀匀速速直直线线运运作用在它上面的作用在它上面的“力力”迫使它改变这种状态迫使它改变这种状态动不变的属性，称为惯性动不变的属性，称为惯性4 运动的运动的““变化变化””与所加动力成正比，并发生与所加动力成正比，并发生其中其中 为合力为合力 ，，m 为为惯性质量惯性质量。

2、第二定律、第二定律（（1）惯性的度量）惯性的度量（（2）瞬时性）瞬时性 （（3）矢量性）矢量性在力的方向上在力的方向上5平面自然坐标系平面自然坐标系直角坐标系直角坐标系63、第三定律、第三定律其中，力是指物体相互接触产生的，或通过其中，力是指物体相互接触产生的，或通过作用力等于反作用力作用力等于反作用力““超距作用超距作用””可以理解成力的传递过程不需要可以理解成力的传递过程不需要相互作用的传递速度一般较大（例如引力和电相互作用的传递速度一般较大（例如引力和电“超距作用超距作用”产生的时间，或力的传递速度为无限大时间，或力的传递速度为无限大磁力都以光速传递），而牛顿力学中物体运动磁力都以光速传递），而牛顿力学中物体运动速度远低于光速，可忽略延迟效应，因此在牛速度远低于光速，可忽略延迟效应，因此在牛顿力学中，作用力等于和反作用力顿力学中，作用力等于和反作用力7二、惯性参考系（惯性系）二、惯性参考系（惯性系） 总能找到特殊的物体群总能找到特殊的物体群（（参考系参考系）），在这个，在这个 相对一个惯性系作匀速直线运动的另一个参相对一个惯性系作匀速直线运动的另一个参牛顿第一、二定律只在惯性系中成立。

牛顿第一、二定律只在惯性系中成立参考系中牛顿第一定律成立这个参考系称参考系中牛顿第一定律成立这个参考系称为惯性系为惯性系参考系也是惯性系参考系也是惯性系惯性参考系：不受外力作用的物体将保持惯性参考系：不受外力作用的物体将保持静止或作匀速直线运动静止或作匀速直线运动81. 隔离法隔离法将所研究的对象跟周围的物体隔开，原来物体将所研究的对象跟周围的物体隔开，原来物体2. 受力分析受力分析(1)重力重力 竖直向下，大小竖直向下，大小=mg牛顿定理的解题方法牛顿定理的解题方法(2)弹力弹力a. 物体受弹力的数目：物体受弹力的数目：球球A有三个弹力有三个弹力B有二个弹力有二个弹力BA间的相互作用，用力来代替，称隔离法间的相互作用，用力来代替，称隔离法这是力学中解题最基本的方法这是力学中解题最基本的方法跟几个物体接触就有几个弹力跟几个物体接触就有几个弹力9木棒受二个弹力木棒受二个弹力注意：若两物体虽有接触，但没有形变注意：若两物体虽有接触，但没有形变( (即没有相即没有相(3)摩擦力摩擦力物体跟物体接触时，阻碍相对运动或相对运动物体跟物体接触时，阻碍相对运动或相对运动最大静摩擦力和滑动摩擦力最大静摩擦力和滑动摩擦力 f = N  ：：摩擦系数摩擦系数 N：：正压力正压力静静摩摩擦擦力力方方向向的的分分析析：：将将静静摩摩擦擦力力去去掉掉，，相相对对运运动动的的趋趋势势就就表表现现出出来来了了，，跟跟这这种种相相对对运运动动趋趋势势相相反反的的方方向向即即静静摩擦力的方向。

摩擦力的方向互作用互作用)时，接触处没有弹力时，接触处没有弹力趋势的力称摩擦力趋势的力称摩擦力10应用牛顿定律解题应用牛顿定律解题两类问题：两类问题：已知力求运动；已知运动求力已知力求运动；已知运动求力解题思路：解题思路：1.确定物体；确定物体；2.分析运动状态（运动学条件，初始条件）；分析运动状态（运动学条件，初始条件）；3.分析受力；分析受力； 4.列方程（选取坐标系），求解，讨论列方程（选取坐标系），求解，讨论11分析运动状态分析运动状态分析受力分析受力 lmv【【例例】】质质量量为为m的的小小球球，，线线长长为为l ，，求求摆摆下下  角角时小球的速率和线的张力时小球的速率和线的张力选择坐标系选择坐标系 列方程列方程（（运动学条件运动学条件））（（初始条件初始条件））mg 12求解微分方程：求解微分方程：13 本节从牛顿力学出发给出动量和角动量的本节从牛顿力学出发给出动量和角动量的 能量、动量和角动量是最基本的物理量能量、动量和角动量是最基本的物理量动量描述平动，角动量描述转动动量描述平动，角动量描述转动 力的时间积累（冲量）引起动量的变化；力的时间积累（冲量）引起动量的变化；§§2.2 动量动量 动量守恒动量守恒它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适用它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适用范围远远超出了牛顿力学。

范围远远超出了牛顿力学力矩的时间积累引起角动量的变化力矩的时间积累引起角动量的变化定义，推导这两个守恒定律，并讨论它们在定义，推导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应用牛顿力学中的应用14 “ “动量动量””的概念：的概念：一、一、 动量动量 冲量冲量力的时间积累称为力的时间积累称为“冲量冲量”（（Impulse）：）：恒力：恒力：变力：变力：15质点动量定理质点动量定理:二、二、 动量定理动量定理牛顿定律积分形式之一牛顿定律积分形式之一在一段时间间隔内，质点所受合外力的冲量在一段时间间隔内，质点所受合外力的冲量等于这段时间内质点动量的增量等于这段时间内质点动量的增量16分量式分量式平均冲力平均冲力17例例题题 质质量量M=3t的的重重锤锤，，从从高高度度h=1.5m处处自自由由落落到到受受锻锻压压的的工工件件上上，，工工件件发发生生形形变变如如果果作作用用的的时时间间 ，，试试求求锤锤对对工工件件的的平均冲力平均冲力h解：解：以重锤为研究对象以重锤为研究对象考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零重力作用时间为重力作用时间为支持力的作用时间为支持力的作用时间为 根据动量定理，根据动量定理，整个过程整个过程合外力的冲量为零，即合外力的冲量为零，即18三、变质量物体的动力学问题三、变质量物体的动力学问题物体物体m与质元与质元dm在在t时刻的速度以及在时刻的速度以及在t+dt时刻合并时刻合并m+dmmdm把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的初始时刻初始时刻末时刻末时刻后的共同速度如图所示：后的共同速度如图所示：动量分别为：动量分别为：19利用动量定理利用动量定理略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除dt值得注意的是，值得注意的是，dm可正可可正可负，当负，当dm取负取负时，表明时，表明变质量问题的处理方法变质量问题的处理方法: :(2) 写出系统动量增量表达式；写出系统动量增量表达式；(3) 应用动量定理求解。

应用动量定理求解1) 确定研究系统，分析系统受力；确定研究系统，分析系统受力；物体质量减小，例如火箭之类喷射问题物体质量减小，例如火箭之类喷射问题变质量物体运动微分方程变质量物体运动微分方程20（（2）设以地面为参考系，建立直角坐标系如图，）设以地面为参考系，建立直角坐标系如图，解解:(1)研究对象：研究对象： t 时刻车中煤与车的总质量时刻车中煤与车的总质量m t+dt 时刻车与煤的质量时刻车与煤的质量m +dm t 时刻和时刻和t+dt时刻系统水平总动量分别为时刻系统水平总动量分别为: dt时间内系统水平总动量增量为时间内系统水平总动量增量为:由动量定理可得由动量定理可得:mv(m+dm)v例：一辆煤车以例：一辆煤车以 v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的煤为的煤为△△m=500 kg如果车厢的速率保持不变，应用多大的牵引如果车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢力拉车厢?mdmOXFv21四、四、质点系的动量定理质点系的动量定理1 1、、质点系质点系由由N个质点构成的系统个质点构成的系统内力内力：：外力外力：：222、质点系的动量定理、质点系的动量定理：：总动量总动量：：合外力合外力应用质点系动量定理不必考虑内力。

应用质点系动量定理不必考虑内力质点系总动量的时间变化率等于所受合外力质点系总动量的时间变化率等于所受合外力内力可改变各质点的动量，内力可改变各质点的动量，但合内力为零，对总动量无影响但合内力为零，对总动量无影响 23对第对第 i 个质点个质点证明：证明：对质点求和对质点求和（（合内力为零合内力为零））（惯性系）（惯性系）即即24五、动量守恒定律五、动量守恒定律3、外力、外力<<内力时，动量近似守恒例如碰撞内力时，动量近似守恒例如碰撞1、只适用于惯性系只适用于惯性系2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量 如果合外力为零，则质点系的总动量不随时如果合外力为零，则质点系的总动量不随时常矢量常矢量间改变间改变守恒4、、对那些不能用力的概念描述的过程，例如光对那些不能用力的概念描述的过程，例如光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，，实验表明：实验表明：只要系统不受外界影响只要系统不受外界影响, ,这些过程这些过程的动量守恒的动量守恒25火箭飞行原理火箭飞行原理26质点系选：质点系选：(M+dM , dm)设火箭在设火箭在自由空间自由空间飞行，系统动量守恒：飞行，系统动量守恒：时刻时刻时刻时刻：：dm相对火箭体喷射速度，定值。

相对火箭体喷射速度，定值27提高速度的途径提高速度的途径：：1、提高气体、提高气体喷射速度喷射速度u；；2、增大、增大Mi /Mf （（受限制），采用多级火箭，受限制），采用多级火箭，设火箭质量比设火箭质量比，，火箭增加的速度为火箭增加的速度为终速度为终速度为28火箭体对喷射的气体的推力：火箭体对喷射的气体的推力：喷射的气体对火箭体的推力：喷射的气体对火箭体的推力：29六、质心六、质心质点系的质心，是一个以质量为权重取平均质点系的质心，是一个以质量为权重取平均1、质心的位置、质心的位置 c质心质心质点系质点系分量形式分量形式的特殊点的特殊点302、质心的速度、质心的速度3、质心的动量、质心的动量在任何参考系中，质心的动量都等于质点系在任何参考系中，质心的动量都等于质点系4、质心的加速度、质心的加速度的总动量的总动量31一、功一、功（（work））功：功：力和力所作用的质点的位移的标量积力和力所作用的质点的位移的标量积: Ø功依赖于参考系；功依赖于参考系；有正、负之分有正、负之分§2.3 功功 动能动能 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律m  12L××××Ø功是标量，功是标量，32m1m2  y××B2xB1 A1z A2o×××××× 一对力：一对力：：：m2相对相对m1 的的分别作用在两个物体上的大小相等、分别作用在两个物体上的大小相等、 它们通常是它们通常是作用力与反作用力。

作用力与反作用力元位移元位移方向相反的力方向相反的力二、一对内力的功二、一对内力的功33(1)表示初位形，即表示初位形，即 m1在在A1，，m2在在A2；； (2)表示末位形表示末位形，，即即 m1在在B1，，m2在在B2 况下，况下，1.W对对 与参考系选取无关与参考系选取无关说明：说明：2.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情一对力的功必为零一对力的功必为零34N′′Nv1Mv12光滑光滑m21v2例如：例如： 35三、三、动能定理动能定理（（kinetic energy theorem））对质点，对质点，由牛顿第二定律，有由牛顿第二定律，有:— — 动能动能质点的动能定理：质点的动能定理：能的增量能的增量合外力所做的功等于质点动合外力所做的功等于质点动36 对质点系对质点系（（各质点位移不一定相同）各质点位移不一定相同）注意：注意：内力虽成对出现，内力虽成对出现， 但内力功的和不一定但内力功的和不一定为零为零由质点由质点动能定理：动能定理：abv1v2FdrP57 例例2.1137四、保守力四、保守力（（conservative force））这样的力称为这样的力称为保守力。

保守力2)(1)L2L1d rL1L2 m2   m1若若 为保守力，为保守力，如果如果功与相对移动的路径无关，而只决定于功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，相互作用物体的始末相对位置，（此式也（此式也可可作为作为保守力的定义）保守力的定义）L1L238五、五、势能势能（（potential energy））利用保守力的功与路径无关的特点，可引入利用保守力的功与路径无关的特点，可引入1. 系统的势能系统的势能 Ep其势能的减少其势能的减少(增量的负值增量的负值)等于保守内力的功等于保守内力的功若规定系统在位形若规定系统在位形(0)的势能为零的势能为零，，则则：：““势能势能”” 的概念定义：定义： 系统由位形系统由位形(1)变到位形变到位形(2)的过程中的过程中，，39说明：说明：零点的选择与参考系的选择相混淆零点的选择与参考系的选择相混淆2. 几种势能几种势能1).万有引力势能万有引力势能令令 有有则则 C = 0，，1.势能属于相互作用的系统；势能属于相互作用的系统；2.势能不依赖于参考系的选择，势能不依赖于参考系的选择，不要将势能不要将势能402).重力势能重力势能令令 3).弹性势能弹性势能令令 有有有有41六、功能原理六、功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 1. 功能原理功能原理（（work-energy theorem））对质点系有对质点系有：：引入系统的引入系统的机械能机械能功能功能原理原理（（积分形式积分形式））（（微分形式微分形式））422. 机械能守恒定律机械能守恒定律 （（ law of conservation of mechanical energy））在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。

在只有保守内力作功时，系统的机械能不变即即—— 机械能守恒定律机械能守恒定律显然，显然，孤立的保守系统机械能守恒孤立的保守系统机械能守恒A保内保内 < 0即即EpEkA保内保内 > 0433. 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 如果考虑各种物理现象，计及各种能量，如果考虑各种物理现象，计及各种能量，则则 一个孤立系统不管经历何种变化，一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变系统所有能量的总和保持不变 —— 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 机械运动范围内的体现机械运动范围内的体现机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 保守内力作功是系统保守内力作功是系统势能势能与与动能动能相互转化相互转化的手段和度量的手段和度量444.守恒定律联合应用举例守恒定律联合应用举例 [例例1]已知：已知：m = 0.2kg，， M=2kg，， v = 4.9m/s 求：求：hmax = ? 解：解：m + M + 地球：地球：W外外= 0，，W内非内非 = 0 ，， 当当 h= h max 时，时，M 与与 m有相同的水平速度有相同的水平速度 。

取地面取地面 Ep = 0，，有：有：故机械能守恒故机械能守恒mvM光滑光滑 光滑光滑 hmax45 代入数据：代入数据： 思考思考 该过程中地面承受的压力如何变化该过程中地面承受的压力如何变化 ？？由由(1)、、(2) 得：得：m + M：： 水平方向水平方向F外外= 0，故水平方向动量守恒，故水平方向动量守恒 mv =（（m+M））V(2)P65 例例2.12，，2.1346§2.4 质点的角动量质点的角动量（（Angular Momentum））一、角动量一、角动量（动量矩）（动量矩） 力矩力矩合外力矩：合外力矩：单位：单位：N·m角动量：角动量：单位：单位：kg·m2·s-1质点质点m对对O点的角动量点的角动量说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点方向：方向：右手螺旋法则右手螺旋法则而言的47牛顿定律牛顿定律  角动量定理：角动量定理：二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理（力矩与角动量的关系）（力矩与角动量的关系）质点的角动量定理：质点的角动量定理：质点所受的质点所受的合外力矩合外力矩，等于，等于质点角动量对时间的变化率。

质点角动量对时间的变化率48 和和 都是相对都是相对惯性系中同一定点惯性系中同一定点定义的因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系分量式：分量式：对对z轴的角动量定理轴的角动量定理—冲量矩，力矩的时间积累冲量矩，力矩的时间积累积分形式：积分形式：4950【【例例】】证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律：行星相对太阳的行星相对太阳的 和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自 若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力矩若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力矩三、角动量守恒定理三、角动量守恒定理为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变，即角动量的大小和方向都保持不变变，即角动量的大小和方向都保持不变然界的一条最基本的定律然界的一条最基本的定律矢径在相等的时间内扫过相等的面积矢径在相等的时间内扫过相等的面积L为常量为常量51常数常数行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相m S太阳太阳行星行星在近日点转得快，在远日点转得慢。

在近日点转得快，在远日点转得慢所以，面速度所以，面速度角动量方向不变：角动量方向不变：行星轨道平面方位不变行星轨道平面方位不变常数常数角动量大小不变：角动量大小不变：角动量为常矢量角动量为常矢量力矩为零力矩为零向心力向心力等的面积等的面积52例例: 如图所示如图所示,一绳拉小球在桌面上作圆周运动一绳拉小球在桌面上作圆周运动,初始角速度和初始角速度和初始位置分别为初始位置分别为 1,和和r1 ;现用力拉绳使小球至现用力拉绳使小球至r2处作圆周运处作圆周运动动,求求 2 .0r1 1r2拉力拉力解解: : 绳给小球的拉力过绳给小球的拉力过0点点, ,对对0点力矩为零点力矩为零. .所以所以, ,小球对小球对0点的角动量守恒点的角动量守恒. .方向方向 末：末：方向方向 53质点的角动量定理质点的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理：：四、质点系的角动量定理四、质点系的角动量定理系统的合外力矩系统的合外力矩（或者总外力矩）（或者总外力矩）系统的总角动量系统的总角动量54 质点系的角动量定理质点系的角动量定理: :一个质点系所受的合一个质点系所受的合外力矩，等于该质点系的总角动量对时间的外力矩，等于该质点系的总角动量对时间的变化率变化率。

内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但合内力矩等于零，对总角动量无影响合内力矩等于零，对总角动量无影响 当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外——质点系的质点系的角动量守恒定律角动量守恒定律力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量将力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量将不随时间改变不随时间改变即即L=常矢量常矢量55孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒 宇宙中的天体可以认为是孤立体系它们具有宇宙中的天体可以认为是孤立体系它们具有盘状星云系盘状星云系旋转盘状结构，成因是角动量守恒旋转盘状结构，成因是角动量守恒56动量定理动量定理角动量定理角动量定理比较比较力力力矩力矩动量动量角动量或动量矩角动量或动量矩力的力的冲量冲量力矩的冲量或冲量矩力矩的冲量或冲量矩57§2.5 刚体定轴转动刚体定轴转动刚体：刚体：大小和形状不发生变化的物体大小和形状不发生变化的物体一、刚体运动学一、刚体运动学研究刚体的方法研究刚体的方法：：把刚体把刚体分割分割成由许多小块成由许多小块质元构成的集合质元构成的集合。

刚体是一个刚体是一个质点组质点组（质元间距离不随时间变化（质元间距离不随时间变化）研究刚体的方法和研究质点组的方法完全相同研究刚体的方法和研究质点组的方法完全相同先先研究单个质点研究单个质点后后对所有质点求和对所有质点求和1、概念、概念582、刚体的运动形式、刚体的运动形式平动平动：刚体上任意一条直：刚体上任意一条直线在各个时刻的位线在各个时刻的位置始终彼此平行置始终彼此平行b) oo 轮子的平动轮子的平动ABCoABCo 一一个个汽汽车车轮轮子子在地上的在地上的滚动滚动(a) A、、B、、C、、…各各点的运动都不相同点的运动都不相同ABA B C Coo 59转动转动：刚体上各质点绕一：刚体上各质点绕一轴作圆周运动轴作圆周运动c) 绕过绕过o  轴的转轴的转动动o A B C 轴固定的转动称轴固定的转动称定轴转动定轴转动刚体的一般运动刚体的一般运动=平动平动＋＋转动转动3、刚体定轴转动的描述、刚体定轴转动的描述oPvr 方向：方向：大小：大小：ABC右手螺旋右手螺旋定则60例例一一转转动动的的轮轮子子由由于于摩摩擦擦力力矩矩的的作作用用，，在在5s内内角角速速度度由由15rad/s 匀匀减减速速地地降降到到10rad/s 。

求求：：(1)角角加加速速度度  ；；(2)在此在此5s内转过的圈数；内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动还需要多少时间轮子停止转动解 ：因角加速度为恒量1)(2) 利用公式5秒内转过的圈数(3) 再利用.1011000 ,/1000stsrad=--=-===61方向方向沿轴沿轴oo  向上向上刚体作定轴转动时，刚体上各质点皆绕同一轴刚体作定轴转动时，刚体上各质点皆绕同一轴oo Lrivi将将刚刚体体分分成成无无穷穷多多个个质质点点，，第第i个质点的角动量大小为个质点的角动量大小为 mi1、刚体定轴转动的角动量、刚体定轴转动的角动量——转动惯量转动惯量oo  作圆周运动，所有质点的角动量方向都相同，作圆周运动，所有质点的角动量方向都相同，因此，因此，整个刚体的总角动量整个刚体的总角动量二、转动定理二、转动定理 转动惯量转动惯量62转动惯量转动惯量是物体转动惯性的量度，它与下面是物体转动惯性的量度，它与下面物体的形状，大小；物体的形状，大小；例例mm2、转动惯量、转动惯量 对转轴对转轴1：：1对转轴对转轴1´：：1´三个因素有关：三个因素有关：物体质量分布；物体质量分布；转轴的位置。

转轴的位置演示：转动惯量演示：转动惯量P77例例2.1563c codIIco 刚体对刚体对任一轴任一轴的转动的转动3、平行轴定理、平行轴定理 惯量惯量I，，等于对过质心等于对过质心c并与并与该轴平行的轴的转动惯量该轴平行的轴的转动惯量Ic加加md264(2) (2) 转轴过顶端转轴过顶端, ,与棒垂直与棒垂直x取取dx：：dxx0例：细棒质量例：细棒质量m,均匀分布均匀分布,长长l质量连续分布：质量连续分布：(1) (1) 转轴过中心转轴过中心, ,与棒垂直与棒垂直. .x0dxx取取dx：：(1)(1)转轴过中心转轴过中心, ,与棒垂直；与棒垂直；(2)(2)转轴过顶端转轴过顶端, ,与棒垂直；与棒垂直；(3)(3)转轴通过棒上离中心为转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直的一点并与棒垂直65转动惯量与转轴转动惯量与转轴的位置有关的位置有关(3)转轴通过棒上离中心为转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直的一点并与棒垂直12h66RodI = r2dm例 求质量为m，半径为R的圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量，设质量在盘上均匀分布rdr解: 将圆盘分成无穷多个大大小小的窄圆环，取其中一个半径为 r，宽度为 dr 的圆环，该圆环对中心轴的转动惯量整个圆盘对中心轴的转动惯量67常用的转动惯量常用的转动惯量薄球壳：薄球壳：球体：球体：细杆：细杆：圆柱体：圆柱体：68三、刚体的动能和势能三、刚体的动能和势能1、刚体的转动定理、刚体的转动定理刚体的定轴转动定理：刚体的定轴转动定理：的合外力矩等于刚体对的合外力矩等于刚体对同一转轴同一转轴的转动惯量与刚体的转动惯量与刚体所获得的角加速度的乘积。

所获得的角加速度的乘积M:合外力矩，外力力矩的总和，合外力矩，外力力矩的总和，不是合外力的力矩！不是合外力的力矩！注意：注意：刚体所受的对某一固定转轴刚体所受的对某一固定转轴692、力矩的功、力矩的功在外力在外力F的作用下，刚体绕定的作用下，刚体绕定轴转过一微小角度轴转过一微小角度d ，力的功，力的功为：为：Fpor  d dsz70刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理：刚体绕定轴转动动能定理：刚体绕定轴转动3、刚体的转动动能、刚体的转动动能4、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理动能的增量等于合外力矩所作的功动能的增量等于合外力矩所作的功71hxOm整个刚体整个刚体：：质量分布均匀而有一定几何形状的刚质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，体，质心的位质心的位5、刚体的势能、刚体的势能hi mi一一个质元个质元 mi的势能的势能：：hcc置为它的几何中心置为它的几何中心72例 一匀均细杆长l，质量m，垂直放置，o点着地杆绕o点自由倒下，求杆的另一端点a着地时的角速度、线速度v、法向加速度an及切向加速度 a 系统机械能守恒：系统机械能守恒：平动动能平动动能+转动动能转动动能+重力势能重力势能+弹性势能弹性势能=恒量恒量6、机械能守恒定律、机械能守恒定律若若A外外+A非保非保=0(或只有保守力做功或只有保守力做功)acmgclmao73解 杆在倒下过程中机械能守恒杆着地时刻，根据转动定律 M=I74四、刚体的角动量四、刚体的角动量等于刚体在这段时间内的角动量的增量。

等于刚体在这段时间内的角动量的增量1、角动量定理、角动量定理2、角动量守恒定律、角动量守恒定律若刚体所受的合外力矩若刚体所受的合外力矩 M外外＝＝0，，—刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律L = I  = 恒矢量恒矢量刚体的角动量定理刚体的角动量定理：：刚体所受的合外力矩的冲量矩刚体所受的合外力矩的冲量矩演示：直升飞机演示：直升飞机75例例 半径为半径为R、质量为、质量为m1的匀质圆盘边的匀质圆盘边缘缘固连固连一质点一质点m2，， 质点处在水平线时质点处在水平线时静止释放静止释放, ,系统通过盘心垂直盘面系统通过盘心垂直盘面 的水平轴转动的水平轴转动求圆盘下摆的求圆盘下摆的 =30°时时，，质点质点m2 的的 角速度角速度、、切向、法向加速度的大小切向、法向加速度的大小?外力矩作功外力矩作功系统转动动能增量系统转动动能增量得得: :解解:m2g又又: :则则:2476(2)机械能守恒例 如图所示一根长l，质量为m1的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直方向今有一质量为m2的子弹，以水平速度v0射入离棒的下端四分之一处并以v0/2的速度沿反方向弹回。

求棒的初始角速度及能摆过去的最大摆角m1m2v0ov0m1o解: (1)角动量守恒77位置矢量位置矢量角角 位位 置置线线 量量 角角 量量质质 量量转动惯量转动惯量平动与转动的对应关系平动与转动的对应关系位位 移移角角 位位 移移速速 度度角角 速速 度度加加 速速 度度角加速度角加速度 力力力力 矩矩牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律 动动 能能转动动能转动动能78平平 动动转转 动动平动与转动的对应关系平动与转动的对应关系( (续前续前) )动动 量量动量矩动量矩动量定理动量定理冲量冲量动量动量矩矩定理定理动量矩动量矩动量守恒定理动量守恒定理动量矩守恒定理动量矩守恒定理条件条件恒量恒量条件条件恒量恒量动能定理动能定理动能定理动能定理 机机 械械 能能 守守 恒恒 定定 律律(或只有保守力作功或只有保守力作功)条件：条件：恒量恒量79 例1 在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一共的质量为10kg由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg，求一桶水从水面提到井口需作功多少？YOdyy10m解：dA=Fcos dy =(m–0.2y) gdy例题欣赏例题欣赏80k1k2F(a)k1k2F图2.7(b)2 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．81[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F2 = k2x2．（1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 即．（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．82[证明]设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为r1r2v1v23. 证明行星在轨道上运动的总能量为式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离． （1） ． （2）它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2． (3)83将（1）式各项同乘以r12得Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)将（2）式各项同乘以r22得Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于r1不等于r2，所以（r2 + r1)E = -GMm，故 844. 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：（1）薄板对OX轴的转动惯量为；（2）薄板对OZ轴的转动惯量为．aObXYZ[证明] 薄板的面积为S = ab，质量面密度为σ = M/S．（1）方法一：横取直杆．在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS = ady，其质量为dm =σdS，绕X轴的转动惯量为dIOX = y2dm = σay2dy，积分得薄板对OX轴的转动惯量为．85方法二：纵取直杆．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其质量为dm，绕X轴的转动惯量为对质量积分得薄板对OX轴的转动惯量为．同理可得薄板对OY轴的转动惯量为．2）方法一：双重积分．在板上取一面积元dS = dxdy，质量为 dm = σdS，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm．由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = σ(x2 + y2)dxdy，因此板绕OZ轴的转动惯量为．86方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm，= (x2 + y2)dm= x2dm + y2dm= dIOY + dIOX，因此板绕OZ轴的转动惯量为可见：板绕OZ轴的转动惯量可以通过与其垂直的两个轴的转动惯量求出来．这种方法称为垂直轴定理．方法三：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为dS = bdx，质量为dm = σdS，绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量dIO`Z` = b2dm/12．根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为dIOZ = x2dm + dIO`Z` = σbx2dx + b2dm/12，积分得薄板对OZ轴的转动惯量为874. 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？ OAR1R2B88R2R1ABBR1Ardr89。