高考数学-新课标定积分应用--例题、习题及详解.doc

定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①持续曲线及轴所围成的平面图形面积为 ②设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为[f上(x)- f下(x)]dx, 于是平面图形的面积为： . ③持续曲线及轴所围成的平面图形面积为 ④由方程与以及所围成的平面图形面积为 例１　计算两条抛物线与所围成的面积．解　求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们规定的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便拟定积分限，为此解方程组：得交点(0,0)和(1,1)．选用为积分变量，则积分区间为，根据公式(1) ，所求的面积为．图3一般地，求解面积问题的环节为：(1) 作草图，求曲线的交点，拟定积分变量和积分限． (2) 写出积分公式．(3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)拟定在y轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)拟定左右曲线: . (4)计算积分. 例3 求在区间[,2 ]上持续曲线 y=ln x ,x轴及二直线 x =,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

解：已知在[,2 ]上，ln x≤ 0 ; 在区间[ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为：A = = + = + = .例4 求抛物线 y2=x 与x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 解： 该平面图形如图所示.先求出抛物线与直线的交点P(1 ,-1)与Q（9,3）.用x=1把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积为：== .= .因此 .本题也可把抛物线方程和直线方程改写成:x=y2 =1(y), x=2y+3=2(y), y∈[-1 ,3].并改取积分变量为y，便得：A=== .例5 求由两条曲线y=x2,y= 和直线y=1围成的平面区域（如图5）的面积.解法一：此区域有关y轴对称，其面积是第一象限那部分面积的二倍在第一象限中，直线y=1与曲线y=x2 与y= 的交点分别是（1,1）与（2,1）.此区域的面积为： .解法二：将y轴看作是自变数在第一象限的那部分区域是由曲线 , 和直线y=1所围成（y作自变数）此区域的面积为： 例6 求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线 与直线， (2)圆 .解 (1)先画图，如图所示，并由方程， 求出交点为（2，），（8，2）.解一 取为积分变量,的变化区间为[，2]，在区间[，2]上任取一子区间[，+ ]，则面积微元 =, 则所求面积为 = = （）=9.解二 取为积分变量，的变化区间为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间，需提成[0，2]，[2，8]两部分完毕.在区间[0，2]上任取一子区间[， +]，则面积微元 1=,在区间[2，8]上任取一子区间[， +]， 则面积微元 2=[] , 于是得=1+2=+=+[]=9 . 图4例7　求由曲线与直线所围成的平面图形的面积．解　作图(图4)，解方程组　　　　得两条曲线的交点坐标为(2,-2)，(8,4)．选用为积分变量，积分区间为[-2,4]．根据公式(2) ，所求的面积为　　　 =18练习题解答★ 1．求由曲线与直线所围图形的面积。

思路：由于所围图形无论体现为X-型还是Y-型，解法都较简朴，因此选其一做即可解： 见图6-2-101图6-2-1∵所围区域D体现为X-型：， （或D体现为Y-型：）∴ （） ★ 2．求在区间[0，/2]上，曲线与直线、所围图形的面积解：见图6-2-20图6-2-21∵所围区域D体现为X-型：， （或D体现为Y-型：） ∴ （ ）★★3．求由曲线与所围图形的面积思路：由于所围图形体现为Y-型时解法较简朴，因此用Y-型做解：见图6-2-304图6-2-3∵两条曲线的交点：，∴所围区域D体现为Y-型：，∴（由于图形有关X轴对称，因此也可以解为：）4．求由曲线与直线及所围图形的面积思路：由于所围图形体现为X-型,解法较简朴，因此用X-型做解：见图6-2-501图6-2-521两条曲线和的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和分别交于 、∴所围区域体现为X-型：，∴5．抛物线分圆的面积为两部分，求这两部分的面积思路：所围图形有关X轴对称，并且在第一象限内的图形体现为Y-型时，解法较简朴解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为，剩余面积为0图6-2-602∵两条曲线、的交于（舍去的解）， ∴所围区域体现为Y-型：；又图形有关x轴对称，∴ （其中） ∴★★★7．求由曲线、与直线所围图形的面积思路：由于所围图形体现为X-型时，解法较简朴，因此用X-型做解：见图6-2-701图6-2-71∵两条曲线和的交点为（0，1），又这两条线和分别交于 和∴所围区域体现为X-型：，∴★★★8．求由曲线与直线及所围图形的面积思路：由于所围图形体现为Y-型时，解法较简朴，因此用Y-型做解：见图6-2-801图6-2-8∵在的定义域范畴内所围区域：，∴★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，规定它具有如下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），因此可设抛物线方程为，（由于下弯，因此），将（1，2）代入，得到，因此 该抛物线和X轴的交点为和，∴所围区域：∴得到唯一极值点：，∴所求抛物线为： ★★★★10．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域体现类型解：，∴在任一点处的切线方程为而过（0，0）的切线方程就为：，即所求图形区域为, X-型下的：，：∴11．设直线y=ax与抛物线所围成的面积为，它们与直线x=1所围成的图形面积为，并且a<1.拟定a的值，使达到最小，并求出最小值。

解：(1) 当0< a<1时，当时， 2．求变力做功的措施1、有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下被压缩3cm，求外力所做的功.解 根据胡克定理，在一定的弹性范畴内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力与伸长量（压缩量）成正比，即 = （为弹性系数）按假设 当 =0.005m时 ，=1N， 代入上式得 =2N/m,即有 =200,因此取为积分变量，的变化区间为[0，0.03]，功微元为 ==200,于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为 ===0.09（J）.。