八年级数学下册 怎样证明勾股定理素材 人教新课标版.doc

证法1（梅文鼎证明）　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠EGF = ∠BED， 　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90， 　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90， 　　∴ ∠BEG =180―90= 90 　　又∵ AB = BE = EG = GA = c， 　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90 　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠ABC = ∠EBD. 　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90 　　即 ∠CBD= 90 　　又∵ ∠BDE = 90，∠BCP = 90， 　　BC = BD = a. 　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 　　设多边形GHCBE的面积为S，则 　　a^2+b^2=c^2 　　 证法2（项明达证明）　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 　　F作FN⊥PQ，垂足为N. 　　∵ ∠BCA = 90，QP∥BC， 　　∴ ∠MPC = 90， 　　∵ BM⊥PQ， 　　∴ ∠BMP = 90， 　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90. 　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90， 　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90， 　　∴ ∠QBM = ∠ABC， 　　又∵ ∠BMP = 90，∠BCA = 90，BQ = BA = c， 　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2 证法3（赵浩杰证明）　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， 　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， 　　∴FI=a， 　　∴G,I,J在同一直线上， 　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c， 　　∠CJB = ∠CFD = 90， 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE 　　∴∠ABG = ∠BCJ, 　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90, 　　∴∠ABG +∠CBJ= 90, 　　∵∠ABC= 90, 　　∴G,B,I,J在同一直线上， 　　所以a^2+b^2=c^2 证法4（欧几里得证明）　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 　　BF、CD. 过C作CL⊥DE， 　　交AB于点M，交DE于点L. 　　∵ AF = AC，AB = AD， 　　∠FAB = ∠GAD， 　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 　　∵ ΔFAB的面积等于， 　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　　的面积的一半， 　　∴ 矩形ADLM的面积 =. 　　同理可证，矩形MLEB的面积 =. 　　∵ 正方形ADEB的面积 　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 　　∴ 即a的平方+b的平方=c的平方 证法5(欧几里得的证法)　　《几何原本》中的证明 　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等 　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3） 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形 　　其证明如下： 　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 画出过点A之BD、CE的平行线此线将分别与BC和DE直角相交于K、L 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。

因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BDBK + KLKC 由于BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的 　　证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法） 　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下： 　　1）（BD）^2;=ADDC， （2）（AB）^2;=ADAC ， （3）（BC）^2;=CDAC 　　由公式（2）+（3）得： 　　（AB）^2;+（BC）^2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=（AC）^2;， 　　即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。

3专心 爱心 用心。