平行线的特征m.docx

精品资源平行线的特征【基础知识精讲】本单元主要学习与探索平行线的特征，在经历观察、操作、推理、交流等学习过程中， 要求掌握平行线的特征，并能解决一些问题.要求进一步发展空间观念，培养推理能力、有 条理表达的能力.重重点难点解析】本单元的重点是平行线的特征. 我们知道，由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结沦是特征；而由角的相等或互补关系， 得到两条直线平行的结论是识别方法. 所以要正确区分平行线的特征和识别方法是很重要的.1 .掌握平行线的特征（性质）；（这是重点，也是难点，要掌握好）2 .会用平行线的特征（性质）进行简单的推理或计算；3 .能正确区分平行线的判定和性质.B.考点指要平行线的特征（性质）是平面几何的重要内容之一，也是中考的重要内容之一.平行线的特征（性质）：• 1）两直线平行，同位角相等；• 2）两直线平行，内错角相等；• 3）两直线平行，同旁内角互补. （与平行线的判定相反，要注意辨别）几何中，图形之间的“位置关系”往往都与某种“数量关系”有着内在的联系，两者往 往相互确定.平行线的判定就是根据同位角、内错角的“相等”或同旁内角的“互补”这种“数量关系”，判定两条直线“平行”这种“位置关系”；而平行线的性质就是在两条直线平 行的“位置关系”下，得出两个角的“数量关系” ，即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.在学习中要注意用“数量关系”来确定“位置关系” ，用“位置关系”来确定“数量关系”.平行线的判定与性质的内容刚好相反，学习时要正确区分判定和性质.• 位置关系是从定性的角度研究， 数量关系是从定量的关系研究， 这两个角度是研究数学问题常见的两个方面）• 难题巧拨解析】例 1 如图，AB // CD,求证：/ E = Z A+Z C.证法一：如下图，过点 E作EF // AB,• •• AB//CD （已知），EF // CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，/AEF = /A, /CEF = /C （两直线平行，内错角相等），/AEC=/A+/ C （等式性质）.（作出辅助线研究几何问题的常用方法） 即/ E = Z A+Z C.证法二：如上右图，过点 E作EF // AB ,• •• AB//CD （已知），EF // CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，ZA+Z AEF= 180 ,ZC+Z CEF = 180 （两直线平行，同旁内角互补），ZA+Z AEF + Z C+Z CEF = 360 （等式性质），又.. Z AEC+Z AEF + Z CEF=360 （已知）/AEC=/A+/ C （等量代换），即/ E = Z A+Z C.注以上两种证法都用到了平行线的性质，除此之外，请同学们作如下思考:（1）试设想其他不同的证明方法；（2）若变换图形或条件，你又会得到什么结论 ？例2如图，AB // CD, AD // BC, / B和/ D相等吗？为什么？欢下载思路分析本题的已知条件“平行”与要说明的/ B和/ D相等与否没有关系，因此首先要分析清楚/ B和/ D的位置关系.下面用两种方法说明/ B和/ D相等.解法一：/ B和/ D相等.推理过程如下：• •• AB // CD, AD // BC （已知）,ZA+ZD = 180 , ZA+ZB=180 （两直线平行，同旁内角互补） ，/B = /D （同角的补角相等）.解法二：/ B和/ D相等.推理过程如下：如图，连结BD.• •• AB // CD, AD // BC （已知）,（作出辅助线创造条件使用平行线的性质）/ABD = /BDC, /CBD = /ADB （两直线平行，内错角相等），• •• / ABD + / CBD = / BDC + / ADB （等式性质）,/B = /D.注在推理过程中，相同的推理步骤可以写在一起， 如本例解法一和解法二中的第一步推理.例 3 如图，已知 AB//CD, Z BAE = 40 , / ECD = 62 , EF 平分/AEC.求/ AEF 的度数.思路分析要求/ AEF的度数，就要先求出/ AEC的度数.由于 AB // CD ,而/ AEC并不是与这 两条平行线有直接的联系.怎样才能使/ AEC与已知条件之间架起一座桥呢 ？解：过E点作EG// AB.• •• AB // CD （已知），EG // CD （两条直线都平行于第三条直线，这两条直线也互相平行） /AEG = / BAE =40 ,ZCEG=Z ECD = 62 （两直线平行，内错角相等）， ZAEC=Z AEG + Z CEG = 40 +62 =102 .• •• EF平分/ AEC （已知），ZAEF= 1 /AEC=51 （角平分线定义）. 2注 / AEF和/ BAE虽然也是一对内错角 （AB、EF被AE所截得的内错角），但是它们 是不相等的.因此要特别注意，内错角相等要在平行线的条件下才具备； 解题中作EG //AB,这是利用平行线的性质， 使问题得以转化而添加的辅助线 （为了解决问题的需要添加的线称为辅助线，一般用虚线表示）.但是不可以同时作 EG // AB, EG // CD,这里的EG // CD是 由推理的方法得到的.实际上由例 1可得/ AEC = /A+/C=102 .当然由例1的证法二我们可以有另一种作辅助线的方法，也就有另一种计算/ AEC的度数的方法.例4如下图，已知CBLAB,点E在AB上，且CE平分/ BCD, DE平分/ ADC, / EDC + Z DCE = 90 ,求证：DA^AB.证法一：・•・ DE平分/ ADC （已知），ZADC = 2Z EDC （角平分线定义），• •• CE平分/ BCD （已知），• •• /BCD = 2/ DCE （角平分线定义）./ADC + / BCD = 2Z EDC+2Z DCE = 2 （/ EDC + / DCE）.• •• / EDC + / DCE = 90 （已知）,ZADC + Z BCD = 2X 90 =180 ,AD // BC （同旁内角互补，两直线平行）.又 ; CB AB （已知），.二 DA XAB.证法二：: ZEDC + Z DCE + Z DEC = 180 （三角形的内角和为 180）,又.. Z EDC +Z DCE=90 （已知）, /DEC =90 （等式性质）.••• CBXAB （已知），ZB=90 .Z BEC =90 -Z BCE =90 -Z DCE .ZAED = 90 -Z BEC=/DCE.同证法一，得/ EDC+ /DCE = 90 ,ZAED + Z EDA = 90 ,ZA=90 , DA LAB.注通过平行线的判定和性质，可以研究和解决两条直线互相垂直的位置关系， 类似这样的问题会经常遇到.【典型热点考题】例1 如图2 — 37, AB// CD直线EF分另I」交 AR CD于正、F, 0分/ BEF,若/ 1=72 , 则/ 2=度.|?|2-37（2002年，河南）点悟：如何求/ 2?——观察图形，分析条件，知道 AB// CD,故/ 2=7 3,再联系角平 分线EG及已知/ 1的度数，故可求/ 2.解：AB // CD,/. / 2=7 3.又•••/ BEF+Z 1=180 , ZBEF=180 - Z 1=180 -72 =108 .••• EG 平分/ BEF,1 1 % *3 =— BEF =_ 108 =542 2故/ 2=54 .点拨：本题的解答，充分利用了平行线的特征： 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.如图2-38,AB// CD AD// BC, / B与/ D相等吗？为什么？图 2-38点悟：如何寻求/ B与/D的关系？一一因为/ B与/ D不是同位角、内错角以及同旁内 角.所以不容易利用两对直线平行的条件.我们另辟蹊径：连结肋，把/ B、/D各分成两个角，再想办法利用已知条件。

解：连结BD.••• AB// CD AD// BC（已知）, /1 = /3, / 2=/4（两直线平行，内错角相等 ）./1 + /2=/3+/4（等式性质）,即 / B=Z D.点拨：本题属于结论开放性题目. /B与/ D是什么关系？相等还是不相等？请你去探索、分析，得到结论并说明你所得结论成立的理由.请同学们细心琢磨呵 ！例3 已知：如图2—39,直线 MN的同侧有三个点 A B、C,且AB// MN BC// MN图 2-39求证：A B、C三点在同一直线上.点悟：合理的思维起点是过 B点作BE交MNT E,借助平行线的特征，想办法证明/ 1 +7 3=180 .即想办法证明/ 1 + /3是一个平角.如图 2—39.证明：过B点作BE交MN^ E.• •• AB // MN（E知）,/1 = /2（两直线平行，内错角相等）.• •• BC // MN（E知），/ 3=/4（两直线平行，内错角相等）.又 2+/4=180 （平角的定义）71 + 7 3=180 （等量代换）• •• A、B、C三点在同一直线上.点拨：本题提供的证明三点共线的方法是一种典型方法，请同学认真体会例4 已知：如图2—40, AB// CDD图 2-40求证：/ D+Z E+Z B=360点悟：如何充分而恰当的利用 AB// CD证出/ D+Z E+Z B=360是思维的关键.于是容易 联想过E点作EF//AB.此时有两条思维途径：一条是过 E点向右作EF// AB; 一条是过E点 向左作EF// AR于是得到两种证明方法.证法一：过E点作EF// AB,如图2—41图 2-41ZB=Z BEF（两直线平行，内错角相等）.又 ,. AB// CD（已知），EF // CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行 ）.ZFED=Z D（两直线平行，内错角相等）./ DEB吆 BEF吆 FED=360 （周角定义）, / E+/ B+/ D=360 （等量代换）.证法二：过E点作EF// AB.如图2—42图 2-42• •・/B+/ FEB=180 （两直线平行，同旁内角互补 ）.又.. AB// CD（已知）,EF// CD（平行于同一条直线的两条直线相互平行 ）.• •・/D+/ FED=180 （两直线平行，同旁内角互补 ）./ B+Z FEB+Z D+Z DEF=360 （等式性质）.即 / B+Z E+Z D=360点拨：两种证法，反映了有效思维的两种途径.方法不同，但都可获得证明，这恰反映 了思维的灵活性和广阔性.例5求证：三角形的内角和等于 180 .也就是点悟：在△ ABC中，乙A / B、/C是三个内角.想要证明/ A+Z B+Z C=180 , 要想法证明/ A+/B+/C~j平角.也就是想法把三个角集中到一块，用什么方法好呢 一利用平行线特征，这就需要过 A点作一条平行线，即可达到目的.证明：如图2—43,图 2-43过 A作 EF// BCZB=Z 1, / C=。