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第二章Volterra方程的求解§ 2.1第二类Volterra方程求解积分方程是近代数学的一个重要 分支，它与微分方程、泛函分析、 计算数学和有机分析等有着紧密的 联系.同时，它也是解决力学、数学 物理和工程技术等问题的一种重要 工具.本章首先介绍积分方程的基本概 念，其次利用压缩映照原理讨论积 分方程的可解性及逐次逼近方法， 并扼要介绍Fredholm定理，讨论一 些非线性积分方程的解法.第二类Volterra方程一般形式 为：中(x) = ^]x K(x, t冲(t)dt + f (x),a(2.1.1)A.化为常微分方程求解例 2.1.1 Jxex-t甲(t)dt = x.解由exJxef (t ~)dt = x,0得卜e-如、o求导得 €~x^?(X)― C~x 一 X€~x,即

a例 中(x) — x + j x (t — x帅(t)dt.0解 K (x, t) = t — x, f (x) =x,人=1.n 甲(x) = f (x) — x，0/、 x x3 x3 x3甲(x) = J (t — x)tdt — ,I 3 Z 3x2 13 、，甲(x) — J (t — x)(—_)dt2 0 3^2I J X (t4 一 13X)dt3x2 01X 5,5 - 4 - 3 - 2x 2 n+1.(x) = (—1)n •… …，n (2 n +1)!故可得/一、 一 x3 , x5 , 二— 甲(x) = x — + + = sin x.3T 5T …下面给出迭代解的其他形式.甲— f 3) 5(p (%) = (尤/帅(x)dt1 o pa= JxKg)f(g,

0, p > 0,1 f 3)l< Me小 x .定义：L (f) = J" f (x )e - pxdx = F (p).0其中p = a + bi,实数a > n ,b为实数.称F(p)为函数f的Laplace变换.L变换有与F变换类似的性质， 这是两种常用的积分变换.称下面积分为函数f和f的卷 积： 1 2(f * f )(x) = xf (t) f (x -1)dt.1 2 0 1 2定理2.1.4(卷积定理)L(f * f ) = L(f) - L(f ), (2.1.4)1 2 1 2对第二类Volterra方程(2.1.3)q (x) = f (x) + Jx K (x -1 冲(t )dt.0两边用Laplace变换,利用卷积定理 得，L(q) = L(f) + L(K)• L(中), 即L(q ) = , L(f), (2.1.5)1 - L (K)对(2.1.5)求Laplace逆变换，得(x) L1( L(f) ), (2.1.6)1 L(K)(2.1.6)即为方程(2.1.3)的解.sinx 2 xcos&0t) (t)dt例(x)解L (sirx)sinx e pxdx0L (cosx)cosx e pxdx01p2~，2p"P2~~，推出L (sinx)L (cosx)1p~~11 2p~■p2—11(^tK查Laplace逆变换表，容易得出/ I、、逆变换为xe x .(p 1)2所以方程解为中⑴=% - ex例 中(x) = 1 +)2=1 +~2sin(x -1冲(t)dt.01解 L (1) =3 e - pxdx = _,0 ~P1L (sin x) =i,所以L G ) = L (1)1 一 L (sin x)= p1-__1~P 2 + 1=1 + 111。

x) = + )p p3 所以P11 =L-1(_) + L-1()§2.2 第一类 Volterra 方程定理2.2.1对第一类Vol terra方程j xK(x,t)9 (t)dt - f (x), (2.2.1)…a若 K(x, t), f (x)可微，K(x, x)莉，(a < x < b),且 K(x, x)与 °K(x，t)分别 ~dx~在［a, b ］及三角域a < t < x < b上连 续，f(a) = 0，^U(2.2.1)与第二 类Volterra方程(、XK'(x,t)〜 f'(x)9 (x) + j x x 9 (t)dt =： ,a K (x, x) K (x, x)(2.2.2)等价.证明注意含参变量积分求导公式(jb (x) f (x, t) dt ) = jb (x)f (x, t) dta (x) a (x) x+f (x, b (x))b'(x) 一 f (x, a (x)) a '(x),(2.2.3)对(2.2.1)两边求导nK(x, x)g(x) + jx K (x, t帅(t)dt = f '(x),x a因为K3,x)更0,同除之得(、xK (x,t)〜 f\x)^ (x) + j x_^^_ g (t) dt = ,a K (x, x) K (x, x)此外，容易看出(2.2.1)有解，则 f (a) = 0,这是必要条件，也称为相容 性条件.例j x [1+ 4(t 一 x) +' (t 一 x)2]p (t)dt = x3.0 2解两边求导。

中(x) - jx [4 - 3( x -1 )]g (t) dt = 3 x 2,0这是一个第二类卷积型Vol terra方程.用Laplace变换L[g]-L[4-3x]-L[g] = 3L[x2]，得L[g ] - 。