第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件.doc

　命题及其关系、充分条件与必要条件[考试要求]　1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒qp是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件pq，且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．1．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．(　　)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)[答案]　(1)　(2)　(3)√　(4)√二、教材习题衍生1．下列命题是真命题的是(　　)A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”C　[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.]3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]4．命题“若α＝，则sin α＝”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”) 假　假　[若α＝，则sin α＝的逆命题为“若sin α＝，则α＝”是假命题；否命题为“若α≠，则sin α≠”是假命题．] 考点一　命题及其关系 　判断命题真假的两种方法　　　　　　　　　　　　　　　　　1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　)A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0D　[x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0，因此逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0，”故选D.]2．给出命题：若a＞－3，则a＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)A．3 B．2 C．1 D．0B　[原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B.]3．下列命题为假命题的是(　　)A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题D　[对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D.]点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可． 考点二　充分、必要条件的判定 　判断充分、必要条件的三种方法[典例1]　(1)设p：x<3，q：－1