(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案.pdf

军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7 题，2 分/ 空，共 20 分） 1. 四点(0,0,0)O,(1,0,0)A,(0,1,1)B,(0,0,1)C组成的四面体的体积是 ___ ?? ?? ___. 2. 已知向量(1,1,1)a,) 3, 2, 1(b,(0,0,1)c, 则cba)(=__(-2,-1,0)____. 3. 点)1 ,0 , 1(到直线 03zx yx 的距离是 ___ 66 11 ___________. 4. 点)2 ,0 , 1(到平面321xyz的距离是 __ 3 14 7 ___________. 5. 曲线 C: 22 0 1 xyz zx 对 xoy 坐标面的射影柱面是 ___ 22 10 xxy____, 对 yoz 坐标面的射影柱面是 __ 22 (1)0zyz_________,对 xoz 坐标面的射影 柱面是 ____10zx__________. 6. 曲线 C: 2 2 0 xy z 绕x轴旋转后产生的曲面方程是__ 422 4()xyz_____，曲线 C绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是___ 22 2xzy_______________. 7. 椭球面1 2549 222 zyx 的体积是 _____??????____________. 二、计算题（共4 题, 第 1 题 10 分, 第 2 题 15 分, 第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分, 共 55 分） 1. 过点( , , )P a b c作 3 个坐标平面的射影点 , 求过这 3 个射影点的平面方程 . 这里 , ,a b c是 3 个非零实数 . 解 : 设点( , , )P a b c在平面0z上的射影点为 1( , ,0) Ma b，在平面0 x上的射影 点为 2(0, , ) Ma b，在平面0y上的射影点为 3( ,0, )Mac，则 12 (,0, )M Mac u uu uu u r ， 13 (0,, )M Mb c u uuuuu r 于是 1 M， 12 M M uuuuuu r ， 13 M M uuuuuu r 所确定的平面方程是00 0 xaybz ac bc 即()()0bc xaac ybabz . 2. 已 知 空 间 两 条 直 线: 1 l 0 10 xy z ,: 2 l 0 10 xy z . (1) 证 明 1 l 和 2 l 是 异 面 直 线 ;(2)求 1 l 和 2 l 间 的 距 离 ;(3)求 公 垂 线 方 程 . 证明：(1) 1 l的 标 准 方 程 是 1 110 xyz ， 1 l经 过 点 1(0,0, 1)M，方 向 向 量 1 1, 1,0v 2 l的标准方程是 2 110 xyz ， 2 l经过点 2(0,0, 2) M，方 向 向 量 2 1,1,0v，于 是 1212 003 (,,)1106 110 M Mv v u uu uuu r 0，所以 1 l 和2 l 是 异 面 直 线 。

(2) 由于 12 (0,0, 2)vv， 12 2vv 1 l 和 2 l 间 的 距 离 1212 12 (,,) 6 3 2 M Mv v d vv uu uuuuuuuuuu r (3) 公 垂 线 方 程 是 1 1100 002 2 1100 002 xyz xyz ， 即 0 0 xy xy 3. 求曲线 2 2 1 xy z 绕 x 轴旋转产生的曲面方面 . 解：设 1111 (,,)Mxy z是母线 2 2 1 xy z 上任意一点 , 则过 1111 (,,)Mx yz的纬圆方程是 222222 111 1 0 xyzxyz xx ， （1） 又 2 11 1 2 1 xy z ， （2） 由（1） （2）消去 111 ,,xy z得到 222 2220 xyz. 4. 已 知 单 叶 双 曲 面 222 1 4925 xyz ,)0,0,2(P为 腰 椭 圆 上 的 点 , (1) 求 经 过 点 P 两 条 直 母 线 方 程 及 其 夹 角 ; (2) 求 这 两 条 直 母 线 所 在 的 平 面的 方 程 及 平 面与 腰 椭 圆 所 在 平 面 的 夹 角 . 解 ： (1)设 单 叶 双 曲 面 两 直 母 线 方 程 是 ()(1) 253 ()(1) 253 xzy wu xzy uw 与 ()(1) 253 ()(1) 253 xzy tv xzy vt 把 点)0 ,0,2(P分 别 代 入 上 面 两 方 程 组 ， 求 得,wu tv代 入 直 母 线 方 程 ， 得 到 过 点)0 ,0,2(P的 两 条 直 母 线 1 253 1 253 xzy xzy 与 1 253 1 253 xzy xzy ， 即 15106300 15106300 xyz xyz 与 15106300 15106300 xyz xyz 两 直 母 线 的 方 向 向 量 可 分 别 取 1 (0,3,5)v和 2 (0,3,5)v，设 两 直 母 线 的 夹 角 是， 则 有 12 12 8 cos 17 vv vv ， 8 arccos17. （ 2） 两 直 母 线 所 在 平 面的 方 程 是 2 0350 035 xyz ， 即2x 显 然 平 面与 腰 椭 圆 所 在 的 平 面 的 夹 角 是 0. 四 、 证 明 题 ( 共 2 题 , 第 一 题 10 分 , 第 二 题 15 分 , 共 25 分 ) 1. 求 证 : 曲 线 23 222 ( )(,,) 111 ttt r t tttttt 在 一 个 球 面 上 , 这 里 的 (,)t. 证 明 : 设( )( , , )r tx y z uuu r ， 则 有 222 xyzy， 即 22211 () 24 xyz 所以曲线 23 222 ( )(,,) 111 ttt r t tttttt 在 球 心 为 1 (0,,0) 2 , 半 径 为 1 2 的 球 面 上 。

2. 证 明 :(1)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 所 有 直 母 线 都 平 行 于 同 一 平 面 : (2) 双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条 直 母 线 异 面 . 证 明 : (1) 双 曲 抛 物 面 的u 族 直 母 线 中 任 一 条 直 母 线 都 平 行 于 平 面 0 b y a x , v 族 直 母 线 中 任 一 条 直 母 线 都 平 行 于 平 面0 b y a x , 因 而 结 论 成 立 .---------5分 (2) 不 妨 取 u 族 直 母 线 来 证 明 ， 任 取 u 族 直 母 线 中 两 条 直 母 线 1 l ： z b y a x u u b y a x )( 2 1 1 和 2 l ： z b y a x u u b y a x )( 2 2 2 其 中 21 uu. 由 于 的 第 一 个 方 程 表 示 的 平 面 平 行 于 的 第 一 个 方 程 表 示 的 平 面 , 即 1 l 和 2 l 在 两 个 平 行 平 面 上 , 因 而 1 l 和 2 l 不 会 相 交 . 又 由 于 直 线 1 l 的 方 向 向 量 为) 2 , 1 , 1 () 1,,()0 , 1 , 1 ( 111 1 ab u abb u a u ba v 直 线 2 l 的 方 向 向 量 为 ) 2 , 1 , 1 ()1,,()0, 1 , 1 ( 222 2 ab u abb u a u ba v 由 于 21 uu, 因 此 1 l 和 2 l 不 会 平 行 , 从 而 证 明 了 双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条 直 母 线 异 面 . 。