高考数学(文)一轮复习讲义 第5章5.5 复　数.docx

5.5　复　数最新考纲考情考向分析1.理解双数的全然不雅观点．2.理解双数相当的充要条件．3.理解双数的代数表示法及其几多何意思．4.能停顿双数代数方法的四那么运算．5.理解双数代数方法的加、减运算的几多何意思.要紧调查双数的全然不雅观点(双数的实部、虚部、共轭双数、双数的模等)，双数相当的充要条件，调查双数的代数方法的四那么运算，重点调查双数的除法运算，凹陷调查运算才干与数形结合思想．一般以选择题、填空题的方法出现，难度为高级.1．双数的有关不雅观点(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做双数，其中a叫做双数z的实部，b叫做双数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：称心条件(a，b为实数)双数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)双数相当：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭双数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量的模叫做双数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．2．双数的几多何意思双数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是逐一对应关系．3．双数的运算(1)运算法那么：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几多何意思：双数加减法可按向量的平行四边形或三角形法那么停顿．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直不雅观地反响出双数加减法的几多何意思，即＝＋，＝－.不雅观点方法微思索1．双数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示　不用定．只要当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．2．怎么样理解双数的加法、减法的几多何意思？提示　双数的加法、减法的几多何意思的确是向量加法、减法的平行四边形法那么．题组一　思索辨析1．揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“√〞或“〞)(1)方程x2＋x＋1＝0不解．(　　)(2)双数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)(3)双数中有相当双数的不雅观点，因此双数可以比较大小．(　　)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)(5)双数的模实质上的确是复平面内双数对应的点到原点的距离，也的确是双数对应的向量的模．(　√　)题组二　讲义改编2．设z＝＋2i，那么|z|等于(　　)A．0B.C．1D.答案　C分析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.应选C.3．在复平面内，向量对应的双数是2＋i，向量对应的双数是－1－3i，那么向量对应的双数是(　　)A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i答案　D分析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.4．假设双数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为(　　)A．－1 B．0C．1 D．－1或1答案　A分析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.题组三　易错自纠5．设a，b∈R，i是虚数单位，那么“ab＝0〞是“双数a＋为纯虚数〞的(　　)A．充要条件B．充分不用要条件C．需要不充分条件D．既不充分也不用要条件答案　C分析　∵双数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0〞是“双数a＋为纯虚数〞的需要不充分条件．应选C.6．(2019葫芦岛模拟)假设双数z称心iz＝2－2i(i为虚数单位)，那么z的共轭双数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　B分析　由题意，∵z＝＝＝－2－2i，∴＝－2＋2i，那么z的共轭双数对应的点在第二象限．应选B.7．i2014＋i2015＋i2016＋i2017＋i2018＋i2019＋i2020＝________.答案　－i分析　原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.题型一　双数的不雅观点1．假设双数z称心(1＋2i)z＝1－i，那么双数z的虚部为(　　)A. B．－C.i D．－i答案　B分析　因为(1＋2i)z＝1－i，因此z＝＝＝，因此双数z的虚部为－，应选B.2．(2019大年夜连质检)双数的共轭双数是(　　)A．－＋i B．－－iC.－i D.＋i答案　D分析　由双数＝＝＝－i，因此共轭双数为＋i，应选D.3．(2018抚顺模拟)已经清楚双数是纯虚数(i是虚数单位)，那么实数a等于(　　)A．－4 B．4C．1 D．－1答案　C分析　＝＝，∵双数为纯虚数，∴2a－2＝0且a＋4≠0，解得a＝1.应选C.思想升华双数的全然不雅观点有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭双数等，在解题中要留心辨析不雅观点的差异，敏锐应用条件得出符合恳求的解．题型二　双数的运算命题点1　双数的乘法运算例1(1)(2018世界Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i答案　D分析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.(2)i等于(　　)A．3－2i B．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i答案　D分析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，应选D.命题点2　双数的除法运算例2(1)(2018世界Ⅱ)等于(　　)A．－－i B．－＋iC．－－i D．－＋i答案　D分析　＝＝＝＝－＋i.应选D.(2)(2019通辽诊断)已经清楚i为虚数单位，双数z称心iz＝2z＋1，那么z等于(　　)A．－－i B.＋iC．2＋i D．2－i答案　A分析　由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，解得z＝＝，即z＝－－i，应选A.命题点3　双数的综合运算例3(1)(2019盘锦模拟)已经清楚z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭双数为，那么等于(　　)A. B．3＋4iC．5 D．7答案　C分析　z＝＝＝3＋4i，故＝3－4i⇒||＝5，应选C.(2)(2018乌海模拟)对于两个双数α＝1－i，β＝1＋i，有以下四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中精确结论的个数为(　　)A．1 B．2C．3 D．4答案　C分析　对于两个双数α＝1－i，β＝1＋i，①αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故①不精确；②＝＝＝＝－i，故②精确；③＝＝1，故③精确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④精确．应选C.思想升华(1)双数的乘法：双数乘法类似于多项式的四那么运算．(2)双数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭双数．跟踪训练1(1)已经清楚a∈R，i是虚数单位，假设z＝＋ai，z＝4，那么a为(　　)A．1或－1 B．1C．－1 D．不存在的实数答案　A分析　由题意得＝－ai，故z＝3＋a2＝4⇒a＝1，应选A.(2)(2019铁岭质检)已经清楚双数a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，那么a＋b等于(　　)A．－2 B．－1C．0 D．2答案　A分析　由双数的运算法那么，可得＝＝＝＝－1－i，结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，据此可得a＋b＝－2.应选A.题型三　双数的几多何意思例4(1)(2018赤峰质检)双数z称心(2＋i)z＝，那么z在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　D分析　∵(2＋i)z＝＝＝5，∴(2＋i)z＝5，5z＝5，z＝2－i，z在复平面内对应的点为，在第四象限，应选D.(2)如以下列图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分不表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：①，所表示的双数；②对角线所表示的双数；③B点对应的双数．解　①∵＝－，∴所表示的双数为－3－2i.∵＝，∴所表示的双数为－3－2i.②∵＝－，∴所表示的双数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③＝＋＝＋，∴所表示的双数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的双数为1＋6i.思想升华复平面内的点、向量及向量对应的双数是逐一对应的，恳求某个向量对应的双数时，只要寻出所求向量的始点跟终点，或者用向量相当开门见山给出结论即可．跟踪训练2(1)(2018阜新模拟)已经清楚双数z＝(i是虚数单位)，那么z的共轭双数对应的点在(　　)A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限答案　A分析　∵z＝＝＝＋i，∴＝－i，那么z的共轭双数对应的点在第四象限．应选A.(2)已经清楚双数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分不为A，B，C，O为坐标原点，假设＝x＋y，那么x＋y的值是________．答案　5分析　由已经清楚得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴解得故x＋y＝5.1．已经清楚双数z1＝6－8i，z2＝－i，那么等于(　　)A．－8－6i B．－8＋6iC．8＋6i D．8－6i答案　C分析　∵z1＝6－8i，z2＝－i，∴＝＝＝8＋6i.2．(2019包头质检)假设双数z称心(1＋2i)z＝2＋i，其中i为虚数单位，那么|z|等于(　　)A. B.C．1 D．2答案　C分析　由题意可得z＝，那么|z|＝＝＝＝1.应选C.3．已经清楚i为虚数单位，那么双数在复平面内所对应的点在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　D分析　＝＝＝1－i，在复平面内对应的点为(1，－1)，因此在第四象限，应选D.4．已经清楚i为虚数单位，假设双数z称心＝1＋i，那么|z|等于(　　)A．1 B.C. D．5答案　C分析　∵＝1＋i，z＋i＝(1＋i)，iz＝(2＋i)i，∴z＝2＋i，∴|z|＝＝，应选C.5．已经清楚i为虚数单位，a∈R，假设为纯虚数，那么a等于(　　)A. B．－C．2 D．－2答案　B分析　由题意知＝＝＝＋i，又由为纯虚数，因此－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－，应选B.6．假设双数z称心z＝1－i(i是虚数单位)，那么双数z的共轭双数等于(　　)A．－－i B．－＋iC．－－i D．－＋i答案　D分析　由题意可得z＝＝＝，因此＝－＋i，应选D.7．已经清楚双数z称心z2＝12＋16i，那么z的模为(　　)A．20B．12C．2D．2答案　C分析　设z＝a＋bi，a，b∈R，那么由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，那么解得或即|z|＝＝＝2.应选C.8．已经清楚聚拢M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，假设M∩N＝{3}，那么实数m的值为________．答案　3或6分析　∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．9．(2018江苏)假设。