最新高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.4 1．4.2　第二课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 含答案.doc

最新人教版数学精品教学资料第二课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P37～40，思考并完成以下问题(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？ (2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？ 正弦函数、余弦函数的图象和性质　正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在(k∈Z)上递增，在 (k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减最值x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1[点睛]　(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　)(2)存在x∈R满足sin x＝.(　　)(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　)A．[0，π]　　　　　　　　　　 B．C． D．[π，2π]答案：C3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)A．ymax＝3，x＝B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)答案：C4．函数y＝3＋2cos x的最大值为________．答案：5正、余弦函数的单调性[典例]　求函数y＝3sin的单调递减区间．[解]　∵y＝3sin＝－3sin，∴y＝3sin是增函数时，y＝3sin是减函数．∵函数y＝sin x在(k∈Z)上是增函数，∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z)．与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．[活学活用]求y＝cos的单调增区间．解：因为y＝cos＝cos，所以令π＋2kπ≤2x－≤2π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数y＝cos的单调增区间为，k∈Z.三角函数值的大小比较[典例]　比较下列各组数的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.[解]　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos.∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，∴cos>cos，∴cos>cos.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[活学活用]　比较下列各组数的大小．(1)cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos＝cos，cos＝cos＝cos＝cos.∵0＜＜＜π，且y＝cos x在(0，π)上单调递减，∴cos＞cos，即cos＞cos.(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin x在上单调递增，∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°.故sin 194°＞cos 160°.正、余弦函数的最值题点一：形如y＝asin x(或y＝acos x)型1．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.解析：当a>0时，得当a<0时，得答案：±2题点二：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b型2．求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值．解：因为x∈，所以2x＋∈，从而－≤cos≤1.所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝5.题点三：形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C型3．求函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域．解：y＝3－4sin x－4cos2x＝3－4sin x－4(1－sin2x)＝4sin2x－4sin x－1，令t＝sin x，则－1≤t≤1.∴y＝4t2－4t－1＝42－2(－1≤t≤1)．∴当t＝时，ymin＝－2，当t＝－1时，ymax＝7.即函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域为[－2,7]．三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．层级一　学业水平达标1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是(　　)A．[1,3]　　　　　　 B．[－1,3]C．[－3,1] D．[－1,1]解析：选B　∵x∈，∴sin x∈[－1,1]，∴－2sin x＋1∈[－1,3]．2．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)A． B．C． D．解析：选C　由y＝|sin x|的图象，易得函数y＝|sin x|的单调递增区间为，k∈Z，当k＝1时，得为函数y＝|sin x|的一个单调递增区间．3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　)A．y＝|cos x| B．y＝cos|－x|C．y＝sin D．y＝－sin解析：选C　y＝|cos x|在上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|在(0，π)上是减函数．排除B；y＝sin＝－sin＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．4．函数y＝sin，x∈R在(　　)A．上是增函数　 B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数解析：选B　y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)A．－1 B．－C． D．0解析：选B　∵x∈，∴－≤2x－≤，∴当2x－＝－时，f(x)＝sin有最小值－.6．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．解析：y＝3cos(π－x)＝－3cos x，当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.答案：2kπ＋π，k∈Z7．y＝sin x，x∈，则y的范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x∈，当x＝时，ymax＝1，当x＝时，ymin＝，从而y∈.答案：8．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x＋π)＝－sin x，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sin x在上的单调递减区间，易知为.答案：9．求下列函数的最大值和最小值．(1)y＝ ；(2)y＝3＋2cos.解：(1)∵∴－1≤sin x≤1.∴当sin x＝－1时，ymax＝；当sin x＝1时，ymin＝.(2)∵－1≤cos≤1，∴当cos＝1时，ymax＝5；当cos＝－1时，ymin＝1.10．比较下列各组数的大小．(1)sin与sin；(2)cos与cos.解：(1)∵函数y＝sin x在上单调递减，且＜＜＜π，∴sin＞sin.(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos.∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0＜＜＜π，∴cos