专题11 几何压轴中的实践与操作题型（解析版）-2023届中考数学压轴大题专项突破.doc

专题11 几何压轴中的实践与操作题型对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)． 解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效． （2022·宁夏·中考真题）综合与实践知识再现如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______．问题探究如图，中，．（1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______．（2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．实践应用（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；（2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．问题探究：（1）；（2）；理由见解析；实践应用：（1）见解析；（2）．知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；(2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则，，再由，可证明．(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求．【答案】知识再现 ；【详解】知识再现：解：中，，，，，，，故答案为：；问题探究：解：中，，，，，故答案为：；解：中，，，过点作交于，在等边三角形中，，，，，同理可得，，，；实践应用：证明：设，，，，，，是等边三角形，是等边三角形，，，，是等边三角形，四边形是平行四边形，，，是直角三角形，，，；解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，是直角三角形，，，，，，，，，，，．本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．（2022·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________；(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示），（参考数据：）（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．利用全等三角形的性质证明即可；（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4-2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．【答案】(1)1,1，(2)①是等边三角形，理由见解析；②(3)【详解】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，∴S1=S．故答案为：1，1，S1=S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ•tan15°=2-，∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1，∴S四边形OMCN=2××CM×OJ=-1．（3）如图4，将沿翻折得到，则，此时则当在上时，比四边形的面积小，    设，则当最大时，最小，，即时，最大，此时垂直平分，即，则如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q， ，BM=CN当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan=tan，∴MN=2MQ=2tan，∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大． 则△COM≌△CON，∴∠COM=，∵∠COQ=45°，∴∠MOQ=45°-，QM=OQ•tan（45°-）=tan（45°-），∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-），∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．1．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践问题情境在图所示的直角三角形纸片中，是斜边的中点．数学老师让同学们将绕中点做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．解决问题（1）“实践小组”的同学们将以点为中心按逆时针旋转，当点的对应点与重合时，与它的对应边交于点．他们发现：．请你帮助他们写出证明过程．数学思考（2）在图的基础上，“实践小组”的同学们继续将以点为中心进行逆时针旋转，当的对应边时，设与交于点，与交于点．他们认为．他们的认识是否正确？请说明理由．再探发现（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图中连接，他们认为，与也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析；（3）【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据等边对等角、旋转的性质可得，又，根据等腰三角形三线合一可证；（2）过点O作，，垂足分别为N，M，利用“角边角”证明，推出，再利用“角角边”证明，推出，，进而证明四边形正方形，通过等量代换可得，再利用相似三角形的性质得出，即可证明；（3）利用正方形的性质可得，再结合（2）的结论可得．【详解】解：（1）证明如下：是斜边的中点，，，，由旋转的性质可得，是的中点，，，又，；（2）他们的认识正确，理由如下：，，，，．如图，过点O作，，垂足分别为N，M，，，，，由旋转的性质可得，，，，，四边形矩形．，，，在和中，，，  ，，四边形正方形．，，，，，，；（3）如图，连接．由（2）知四边形正方形，，，即，．故答案为：．2．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上．(1)如图1，当点在对角线上，点在边上时，那么与之间的数量关系是_________；探索发现：(2)当点在正方形外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)如图4，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．【答案】(1)；(2)成立，证明见解析；(3)．【分析】（1）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可；（2）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可；（3）连接交于点，过点作交直线于点，根据正方形的性质，可得，再证得，可得，，在中，根据勾股定理可得，即可．【详解】（1）解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．即；故答案为：；（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：如图2，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．即；（。