线性代数发展史.docx

线性代数发展史由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数 假如所研究的关联性是线性的，那么称那个问题为线性问题历史上线性 代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的进展 又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与进展，这些内容已成为 我们线性代数教材的要紧部分最初的线性方程组问题大差不多上来源于 生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的产生与进展另外， 近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步进 展行列式行列式显现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在 差不多是数学中一种专门有用的工具行列式是由莱布尼茨和日本数学家 关孝和发明的1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并 给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件同时代的日本数 学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作《线性 代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的 阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则稍后，数学 家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系 统化，利用系数行列式概念指出了如何判定一个齐次线性方程组有非零解。

总之，在专门长一段时刻内，行列式只是作为解线性方程组的一种工 具使用，并没有人意识到它能够独立于线性方程组之外，单独形成一门理 论加以研究在行列式的进展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述， 即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 范德蒙自幼在父亲的明白下学习音乐， 但对数学有浓厚的爱好，后来终于成为法兰西科学院院士专门地，他给 出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则就对行列式本身这 一点来说，他是这门理论的奠基人 1772年，拉普拉斯在一篇论文中证 明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出奉献的确实是另一位法国大数学家 柯西1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的 第一个系统的、几乎是近代的处理其中要紧结果之一是行列式的乘法定 理另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采纳双足标记法；引进了 行列式特点方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列 式展开定理并给出了一个证明等19 世纪的半个多世纪中， 对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹 姆士西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894)。

他是一个爽朗、敏锐、兴奋、 热情，甚至容易兴奋的人，然而由因此犹太人的缘故，他受到剑桥大学的 不平等对待西尔维斯特用火一样的热情介绍他的学术思想，他的重要成 就之一是改进了从一个 次和一个 次的多项式中消去 x 的方法，他称之为 配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要 条件这一结果，但没有给出证明继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人确实是德国数学家 雅可比(J.Jacobi,1804-1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函 数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式 雅可比的闻名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建 成由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多 方面的应用，促使行列式理论自身在 19世纪也得到了专门大进展整个 19 世纪都有行列式的新结果除了一样行列式的大量定理之外，还有许多有 关专门行列式的其他定理都相继得到矩阵矩阵是数学中的一个重要的差不多概念，是代数学的一个要紧研究对 象，也是数学研究和应用的一个重要工具矩阵”那个词是由西尔维斯特第 一使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了那个述语。

而实际上，矩阵那个课题在产生之前就差不多进展的专门好了从行列式 的大量工作中明显的表现出来，为了专门多目的，不管行列式的值是否与 问题有关，方阵本身都能够研究和使用，矩阵的许多差不多性质也是在行 列式的进展中建立起来的在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念， 然而在历史上次序正好相反英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895) 一样被公认为是矩阵论的创 立者，因为他第一把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并第一发表了 关于那个题目的一系列文章凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，第 一引进矩阵以简化记号 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文 《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论文中他定义了矩阵 的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列差不多概念， 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性另外，凯莱还给出了方阵的特点 方程和特点根(特点值)以及有关矩阵的一些差不多结果凯莱出生于一 个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学， 三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时刻研究数学，发表 了大量的数学论文1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 证明了别的数学家发觉的 一些矩阵类的特点根的专门性质，如现在称为埃米特矩阵的特点根性质等。

后来 ，克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆 (A.Buchheim) 等 证明了对称矩阵的特点根性质 泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给 出了一些有关的结论在矩阵论的进展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的奉献 是不可磨灭的他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和 初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的 形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的 一些重要性质 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题 1892 年 梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数 的形式傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这要 紧是适用方程进展的需要而开始的矩阵本身所具有的性质依靠于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具 通过两个多世纪的进展， 现在已成为独立的一门数学分支 ——矩阵论而矩 阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论 矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域线性方程组线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术 方程》章中已作了比较完整的论述。

其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增 广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法在西方， 线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的他曾研究含两个 未知量的三个线性方程组组成的方程组麦克劳林在 18 世纪上半叶研究 了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的 结果克莱姆不久也发表了那个法则 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了 元齐次线性方程组有非零解的 条件是系数行列式等于零19世纪，英国数学家 史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson)连 续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概 念，后者证明了 个未知数 个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和 增广矩阵的秩相同这正是现代方程组理论中的重要结果之一大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组因此性方 程组的数值解法得到进展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取 得了令人中意的进展现在，线性方程组的数值解法在运算数学中占有重 要地位二次型二次型也称为“二次形式”，数域？上的？元二次齐次多项式称为数 域？上的？元二次型。

二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我 们后面的学习，那个地点关于二次型的进展历史我们也作简单介绍二次 型的系统研究是从 18 世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分 类问题的讨论将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作 为坐标轴以简化方程的形状，那个问题是在 18 世纪引进的柯西在其著 作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类 然而，那时并不太清晰，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正 项和负项西尔维斯特回答了那个问题，他给出了 个变数的二次型的惯性 定律，但没有证明那个定律后被雅可比重新发觉和证明 1801 年，高 斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特点方程的概念特 点方程的概念隐含地显现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方 程组的著作中第一明确地给出了那个概念而三个变数的二次型的特点值 的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840) 建立的柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明 了特点方程在直角坐标系的任何变换下不变性。

后来，他又证明了 个变数 的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和1851 年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要 考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类在他的分类方法中他引进了初等 因子和不变因子的概念，但他没有证明 “不变因子组成两个二次型的不变量 的完全集 ”这一结论1858 年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一样的方法，并证明，假如二次型之一是正定的，那么即使某些特点根相等， 那个化简也是可能的魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将 其推广到双线性型从解方程到群论求根问题是方程理论的一个中心课题 16 世纪，数学家们解决了三、 四次方程的求根公式，关于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的 数学家们探讨的又一个问题那个问题花费了许多数学家们大量的时刻和 精力经历了多次失败，但总是摆脱不了逆境到了 18 世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的体会，深 入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到 预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关但他最终没能解决高次方 程问题拉格朗日的弟子鲁菲尼 (Ruffini,1765-1862) 也做了许多努力，但 都以失败告终。

高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那儿 取得了专门大进展 阿贝尔 (N.K.Abel,1802-1829) 只活了 27 岁，他一生 贫病交加，但却留下了许多制造性工作 1824 年，阿贝尔证明了次数大 于四次的一样代数方程不可能有根式解但问题仍没有完全解决，因为有 些专门方程能够用根式求解因此，高于四次的代数方程何时没有根式解， 是需要进一步解决的问题这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予 解决伽罗瓦 (E.Galois,1811-1832) 认真研究了拉格朗日和阿贝尔的著作， 建立了方程的根的 “容许 ”置换，提出了置换群的概念， 得到了代数方程用根 式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解从这种意义上，我们说伽 罗瓦是群论的创立者伽罗瓦出身于巴黎邻近一个富裕的家庭，幼时受到 良好的家庭教育，只惋惜，这位天才的数学家英年早逝， 1832 年 5 月 由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅 21 岁置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个要紧来源抽象群产生的第二个要紧来源则是 戴德金(R.Dedekind,1831-1916)和克罗内克 (L.Kro necker,1823-1891)的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱 (A.Kay。