大学普通物理课件 第21章 - 波动.ppt

第二十一章 波 动,Wave,本章主要内容,§21-1 机械波的产生和传播 行波 §21-2 简谐波 平面简谐波 §21-3 物体的弹性形变 §21-4 弹性介质中的波速 §21-5 波的能量 §21-6 Huygens原理 波的反射与折射 §21-7 波的叠加 驻波 §21-8－§21-13 选学,第二十一章 波 动,,常见的种类有: 机械波，电磁波，概率波，…, 波动的一般定义：振动(或扰动)在空间的传播简称波,本章重点：机械波中的简谐波 波的叠加, 各种类型的波有其特殊性，如：声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子— 光子的运动 各种波也有普遍的共性，如，波的传播伴随着能量的传 播、有反射、折射、吸收等性质§21-1 机械波 行波,Mechanical Wave and Travelling Wave,1. 机械波的产生和传播,机械波——机械振动的传播波源处质元的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波横波——介质质元的振动方向与振动的传播方向垂直的波 横波与纵波,纵波——介质质元的振动方向与振动的传播方向在一条直线上的波。

空气中的声波,横向抖动绳端,不管是横波还是纵波都只是振动的传播，介质的质元并不沿传播方向发生迁移2. 行 波,行波——单向传播的振动 驻波,, 行波的特点, “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动；, 某时刻某质元的振动状态（相位）将在较晚时刻于“下游”某处出现——波是振动状态的传播；, 波传播过程中，每个质元在各自的平衡位置附近振动；质元并未“随波逐流”,沿波的传播方向各质元的相位依次落后, 各质元的振动频率相同波面——振动相位相同的点组成的曲面波阵面 波前 波线——表示传播方向的曲线波射线, 波面和波线,球面波（同心球形波面）,——行波传播行为的几何描述,§21-2 简谐波 平面简谐波,Plane Simple Harmonic Wave,,1. 简谐波 波长、波速和周期,, 波速——振动状态的传播速度相速,波速的大小决定于介质的特性 §21-4, 波长——传播方向上相邻同相点之间的间距示意图,一个周期时间里某相位传播的距离就是波长，, 波的周期——振动状态（相位）传过一个波长的时间 即波源的振动周期 波的频率——周期的倒数，即波源的频率。

与介质无关绳中简谐波形成的示意图,返回,2. 简谐行波的波函数,,以绳上横波为例说明简谐波的波函数已知原点O的振动表达式：,y 表示原点在 y 方向上的位移，A 是振幅， 是角频率， 为O点在零时刻的相位O点的振动状态向右传播到 x 点需要时间：,x处的质元开始振动的时刻比原点晚 ，所以 x 处的质元在 时刻 t 的位移应该等于原点在 的位移，即, 波函数中的 为原点处质元振动的初相 t 和 x 是任意的，上式可以表示各质元的位移 y 随 其平衡位置 x 和时间 t 如何变化，叫做简谐波的波 函数说明：,,, 设如果波沿 x 轴负向传播，x处的质元开始振动的时 刻比原点早 ，所以 x 处的质元在时刻 t 的位移 应该等于原点在 的位移，即此时的波函数 应为：, 波函数的其他表达式：（不妨设 ）,其中 ，称为波数3. 平面简谐波的波形曲线,,结论：波形曲线也是余弦函数曲线； 波的传播表现为波形曲线的平移. 波形曲线以波速u向传播方向平移[例1] 设波源位于 x 轴的原点处，波源的振动曲线如图所示，已知波速为 u = 5 m/s ，波向 x 正向传播。

（1）画出距波源 15 m处质元的振动曲线； （2）画出 t = 3 s 时的波形曲线于是，波函数为,即,（3）写出 20m 处质元的速度表达式1）令 x = 15 m,（2）令 t = 3 s,（3） 据波源 20m 处质元的位移表达式为：,则质元的速度表达式为：,[例2] 一列平面简谐波以波速 u 沿 x 轴正向传播，波长为已知在 处的质元的振动表达式为 试写出波函数解 设在 x 轴上 P 点处的质点的坐标为 x ，则 P 点的振动 要比 处的振动晚 ，因此 P 点 t 时刻的位移为,或,练习：1）如图1为t=T/4时一列平面简谐波的波形曲线，则其波的表达式为：,,2）上图2为一平面简谐波在t=2s时的波形图，波的振幅为0.2m，周期为4s，则图中P处质点的振动方程为,,图1,图2,复习：如图所示，一平面波在介质中以波速u=20m/s沿x轴 负方向传播，已知A点的振动方程为 (1)以A点为坐标原点写出波的表达式；(2)以距离A点5m处的B点为坐标原点写出波的表达式。

§21-3 物体的弹性形变,Elastic Deformation of a Body, 线变,弹性势能：,弹性介质(无论是固体还是流体)在受力时都会产生形变在其弹性限度内形变是可恢复的，称这种形变为弹性形变杨氏模量 决定于材料的特性，与形状大小无关返回,材料发生线变时，单位体积内的弹性势能为：, 剪切形变,材料发生切变时，单位体积内的弹性势能为：,横波形成时，介质中各质元都发生切变，各质元内都有 弹性势能 体变,G和K决定于材料的特性压缩系数, 横波,§21-4 弹性介质中的波速,Velocity of Wave,1. 波动方程,,将平面波的波函数,对 t 和 x 求导，得,和,返回,比较两个二阶偏导数得,上式就是波动方程数学上可以证明, 它是各种平面波(不限于平面简谐波)必须满足的线性偏微分方程结论：任何物理量 y (力学量, 电学量, 或其它的量), 只要它与时间和坐标的关系满足上述的波动方程，则这个物理量一定按波的形式传播而且对时间的二阶偏导数的系数的倒数就是波速的平方2. 均匀细棒中纵波波动方程的推导,,设细棒密度为，截面积为S，沿细棒取x坐标，设波沿x正向传播考察媒质中 x x +x 段质元：,由牛顿定律,取极限 ，则,波速为,已导出固体细棒中纵波的波速为 ，还可以证明其他波速公式如下：,3. 波 速,,波速由弹性介质特性决定。

§21-5 波的能量,Energy of Wave,本节先以细棒中的平面简谐纵波 为例， 讨论波的能量问题，由此得出的结论具一定的普遍意义 波的能量密度,取介质中小体积元 ，讨论总机械能 ：,总机械能为,能量密度为,动能：,查看,,,,平均能量密度为：,能量密度,结论： 区别于孤立的振动系统，单个质元的机械能不守恒 因单个质元是开放的系统，且简谐运动只是一个运动学概念 简谐波中任意一个质元的动能和势能总是相等等幅同相 简谐波的能量密度 具普遍意义（适用于弹性媒质中的机械波）的说明：,,, 波的强度, 波的能流密度——单位时间内流过单位垂直截面的能量能流密度：,强度：, 波的强度——波的平均能流密度 平面波和球面波的振幅, 对平面波, 对球面波,又,根据能量守恒,在一个周期内通过 和 面的能量应该相等.,又,即振幅与离点波源的距离成反比.,----在均匀的无吸收的介质传播, 波的吸收,实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量吸收的能量转换为媒质的内能和热量放出。

因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为波的吸收与平面波类似，球面简谐波的波函数：,如果距波源单位距离的振幅为A，则距波源r处的振 幅为,§21-6 Huygens原理 波的反射与折射,Huygens Principle Reflection and Refraction of a Wave, Huygens原理 C. Huygens（荷）1690,这一原理的意义在于： 提出了子波的概念 给出了波传播方向的规律 ——提出一种描绘波面几何方法，即Huygens作图法,原理： 介质中任一波阵面上的各点，都可以看成发射子波的次波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面 Huygens原理的应用,,,,,,波的衍射： 波遇到障碍物，其传播方向发生改变，能绕过障碍物的边缘继续前进的的现象.,根据HGS原理：开口处各点都可看作发射子波的波源，作出这些子波的包迹面，就得出新的波阵面.,§21-7 波的叠加 驻波,Superposition of Waves Standing Wave,观察表明：弹性媒质中的机械波，满足独立传播的特性 波的叠加原理,波的叠加原理：几列波在空间相遇时，相遇区域中的任一点的振动位移（或波矢量）等于各波单独存在时在该点产生的位移的矢量和。

进一步的研究指出：如果两列波在空间相遇时，要使它们表现出独立传播的特性，相遇点处的介质质元的振动必须是两列波单独对它引起的振动的叠加光波和电磁波也如此,频率相同、振动方向平行、相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象., 波的干涉,干涉现象必须有稳定的波的叠加图样波的相干条件,满足这些相干条件的波(源)称为相干波(源)合振幅增大，不随时间变化,,,干涉情况分析,设相干波源 S1 和 S2 的振动表达式为,两列波传到点 P 时引起的分振动分别为,那么,在 P 点的振动为同方向、同频率的简谐振动的合成初相,返回,P 点处的合成振动为：,常量,,,对于P点，合振幅是不随时间改变的查看,其中,合成振动：,对空间任意位置，都有恒定的 ，则合振幅 A 也不随时间变化因而空间各处的合振动强度是稳定的，即有干涉现象常量,,干涉相长的条件：,讨论:,满足此相位差的空间各点，合振动始终最强，称为干涉相长干涉相消的条件：,当两相干波源为同相波源时，,称 为波程差干涉相长的条件：,干涉相消的条件：,满足此相位差的空间各点，合振动始终最弱，称为干涉相消。

查看,该点静止不动,[例] 位于 两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相差为 ，其 相距30米，波速为400米/秒，,解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取 A 点的振动方程 :,B点的振动方程 :,求: 连线之间因相干涉而静止的各点的位置A点波源发出的行波, 在坐标为 x的任意点处所引起的振动的振动方程为,B点的振动方程 :,B点波源发出的行波, 在坐标为 x的任意点处所引起的振动的振动方程为,因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以干涉相消的点,即相干为静止的点, 其满足：,注意,整理得到, 干涉相消的点需满足：,波节位置,,A点在x处质元引起的振动相位 :,方法二：设 A 点的振动相位 :,设 B 点的振动相位 :,B点在x处质元引起的振动相位为:,两分振动的相差为：,的各点发生干涉相消整理得到, 干涉相消的点需满足：,波节位置,另外，在求相差时，也可以直接利用相差公式, 驻 波,驻波是指两列波频率相同、振幅相同、振动方向相同、在同一直线上沿相反方向传播，它们叠加所形成的合成波设两列波的表达式为,叠加后得驻波表达式：,这一结果表明：驻波不含波动特有的相位因子 ，即不再具有波的特性（相位沿传播方向依次落后等）。

振幅最大的点称为波腹；振幅为零的点称为波节。