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高等数学 A 第五章 不定积分与定积分 §1. 定积分的概念及性质定积分的概念及性质 ()() 01 1 ( )dlim(),max n b iii ai n i f xxfxx λ λ ξλξλ →≤ ≤ = →≤ ≤ = =Δ==Δ= ∑∫∑∫ Δ Δ （（1）几何意义：曲线与）几何意义：曲线与( )yf x= =,xa xb= == =及轴围成的曲边梯形面积的代数和！及轴围成的曲边梯形面积的代数和！ x （（2）性质：）性质： ①① 定积分与积分变量无关定积分与积分变量无关，即，即( )d( )d( )d bbb aaa f xxf ttf uu==== ∫∫∫∫∫∫ ；； ②② 线性性质：；线性性质：； 1212 ( )( ) d( )d( )d bb aa k f xk g xxkf xxkg xx+=+⎡⎤ ⎣⎦ +=+⎡⎤ ⎣⎦∫∫∫∫ b a ∫ ∫ ③③ 区间可加性区间可加性：：( )d( )d( )d bcb aac f xxf xxf xx=+=+ ∫∫∫∫∫∫ ；； ④④ ；； 1d b a xba=−=− ∫ ∫ ⑤⑤ 保号性：若在保号性：若在[ ,上，则；上，则； ]a b( )0f x ≥ ≥( )d0 b a f xx ≥ ≥ ∫ ∫ 推论推论 1： （保序性）若在： （保序性）若在[ ,上上]a b( )( )f xg x≥ ≥，则，则( )d( )d bb aa f xxg xx≥ ≥ ∫∫∫∫ 推论推论 2： （绝对值性质）在： （绝对值性质）在[ ,上有上有]a b( )d( ) d bb aa f xxf xx≤ ≤ ∫∫∫∫ ⑥⑥ 估值定理估值定理 设是设是,m M( )f x在在[ ,上的最小值和最大值，则上的最小值和最大值，则 ]a b ()( )d( b a m baf xxM ba−≤≤−−≤≤− ∫ ∫ ) ⑦⑦ 积分中值定理：若积分中值定理：若( )[ , ]f xC a b∈ ∈，则至少存在一点，则至少存在一点[ , ]a bξ ξ∈ ∈，使得，使得 ( )d( )() b a f xxfbaξ ξ= =− − ∫ ∫ §2. 微积分基本公式微积分基本公式 1. Newton-Leibniz 公式公式：设：设( )[ , ]f xC a b∈ ∈，若，若( )( )Fxf x′ ′= =，则，则 ( )d( )( )( ) b b a a f xxF xF bF a==−==− ∫ ∫ 2. 变限积分函数变限积分函数 求导公式求导公式 1：：( ( ) ) ( )d( ) x a f xxf x ′ = ′ = ∫ ∫ 求导公式求导公式 2：：( ( ) ) [][] ( ) ( )d( )( ) x a f xxfxx ϕ ϕ ϕϕϕϕ ′ ′ ′ ′= = ∫ ∫ 求导公式求导公式 3：：( ( ) ) [][][][] ( ) ( ) ( )d( )( )( )( ) x x f xxfxxfxx ϕ ψ ϕ ψ ϕϕψψϕϕψψ ′ ′ ′ ′′=−′=− ∫ ∫ §3. 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质 1. 若若( )( )Fxf x′=′=，称，称( )F x为为( )f x在区间上的一个原函数，定义在区间上的一个原函数，定义 I ( )d( )f xxF xC= =+ + ∫ ∫ 2. 性质：性质： [][] ( )d( )d ,(0) ( )( ) d( )d( )d kf xxkf xx k f xg xxf xxg x ⎧ =≠ ⎪ ⎨ ±=± ⎪ ⎩ ⎧ =≠ ⎪ ⎨ ±=± ⎪ ⎩ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ x ∫ ∫ 高等数学 A 第五章 不定积分与定积分 3. 不定积分基本公式表（略）不定积分基本公式表（略） §4. 换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法（凑微分法） ：在被积表达式中凑出一个中间变量，把原函数化为关于中间变 量的简单函数，使原积分转化为基本积分公式表中的形式，从而求出不定积分。

（凑微分法） ：在被积表达式中凑出一个中间变量，把原函数化为关于中间变 量的简单函数，使原积分转化为基本积分公式表中的形式，从而求出不定积分 [ ( )]( )d[ ( )]d ( )( )dfxxxfxxf uϕϕϕϕϕϕϕϕ′==′== ∫∫∫∫∫∫ u，令，令( )uxϕ ϕ= = 第二换元法第二换元法：通过变量代换：通过变量代换( )xtψ ψ= =将原复杂积分转化为新的简单积分，求出原函数后将 带回即可求出不定积分 将原复杂积分转化为新的简单积分，求出原函数后将 带回即可求出不定积分 1( ) tψ ψ − − = =x ( )d[ ( )]d( )[ ( )]( )df xxftxftttψψψψψψψψ′==′== ∫∫∫∫∫∫ ，令，令( )xtψ ψ= = [][]( )d( )( )d b a f xxfttt β α β α ψψψψ′=′= ∫∫∫∫ ，其中，其中( )xtψ ψ= =，且，且( ),().abψ ψ αψ βαψ β= == = （（1）三角代换：）三角代换： ( ( 22 d ) ) fax− − ∫ ∫ x型，令型，令sin , 22 xatt π ππ π = =−− ( ( 22 d ) ) fax+ + ∫ ∫ x型，令型，令tan , 22 xatt π ππ π = =−− ( ( 22 d ) ) fxax− − ∫ ∫ 型，令型，令sec , 0,0 22 xattt ππππ = =−− 2 dd ExFAB dxxx xpxqxaxb + =+ ++−− ∫∫∫ （（2）时，）时，0Δ = 22 dd () ExFAB dxxx xpxqxaxa + =+ ++−− ∫∫∫ （（3）时，）时， 0Δ 222 2 2 22 22 2 2 22 (2) 22 ddd 4 24 d()11 2 d 22 44 22 2 1 4 2 22 lnarctan 2 44 EEp xpB ExF xxx xpxqxpxq pqp x p x ExpxqEp B xpxq qpqp p x qp EBEpxp xpxqC qpqp +− + =+ ++++ −⎛⎞ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ − ++⎛⎞ =+−⋅ ⎜⎟ ++ ⎝⎠−−⎛⎞ ⎜⎟− ⎜⎟ + ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ −− =++++ −− ∫∫∫ ∫∫ §7. 广义积分广义积分 1. 无穷区间上的广义积分：无穷区间上的广义积分： ( )dlim( )d( )lim( )( ) b a aabx f xxf xxF xF xF a +∞ +∞ →+∞→+∞ +∞ +∞ →+∞→+∞ ⎡⎤ === ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ === ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫∫ − − ( )dlim( )d( )( )lim( ) bb b aax f xxf xxF xF bF x −∞ −∞→−∞→−∞ −∞ −∞→−∞→−∞ ⎡⎤ ===− ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ ===− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫∫ 0 0 ( )d( )d( )df xxf xxf xx +∞+∞ −∞−∞ +∞+∞ −∞−∞ =+=+ ∫∫∫∫∫∫ 2. 无界函数的广义积分（瑕积分）无界函数的广义积分（瑕积分） 0 ( )dlim( )d( )( )lim( ) bb b a aa xa f xxf xxF xF bF x ε ε ε ε + ++ + ++ + →→ + →→ ⎡⎤ ===− ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ ===− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫∫ 0 ( )dlim( )d( )lim( )( ) b b a aa xb b f xxf xxF xF xF a ε ε ε ε − +− − +− − →→ − →→ ⎡⎤ === ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ === ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫∫ − − ( )d( )d( )d cbb aac f xxf xxf xx=+=+ ∫∫∫∫∫∫ 。