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读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 第二讲两直线的位置关系及距离公式 【考纲要求】 ： 1. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2. 会求两直线的交点坐标 . 3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点整合】： 1. 基本概念： (1)两直线的位置关系 对于直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2. l1l2?. 2121 bbkk且 l1l2? k1 k2-1. 对于直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20. l1l2? A1B2A2B1且 A2C1A1C2(或 B1C2B2C1) l1l2? A1A2B1B20. l1与 l2相交? A1B2A2B1 (2)两条直线的交点 如果两直线 l1与 l2相交，则交点的坐标一定是两条直线方程组成的方程组的解； 反之，如果两直线方程组成的方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点 必是 l1和 l2的交点 2.基本性质：（定理和公式） (1) 点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 22 00 BA CBxAx d (2)求两平行线 l1、l2距离的方法： 求一条直线上一点到另一条直线的距离 设 l1：AxByC10，l2：AxByC20 22 21 BA CC d则 3.基本方法： 对于直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20. 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 (1)用比例关系 2 1 2 1 B B A A 判断相交， 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 平行， 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 判断重合， 便于记忆，应用方便 . (2)直线 l1：AxByC0，直线 ll1时，可设 l：AxByC10； ll1时，可设 l：BxAyC10. (3)直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1与 l2交于点 P，过点 P 的 直线 l 可设为 (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（l2除外） . 4.易错警示： (1)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均 无斜率的情形，在两条直线l1、l2的斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1 l2? k1k2与 l1l2? k1k21. (2)用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时，A1A2B1B20? 两直线垂直， 但 A1B2A2B10 与两直线平行不等价 (3)利用公式求两条平行直线间距离时，必须注意两条直线方程的x、y 的系数应 分别相等。

【例题精析】： 考点 1：两条直线平行与垂直的条件 例 1：当 a为何值时 ,直线 l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0 与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互 相垂直 ; 已知直线 l1:(m+2)x+(m 2-3m)y+4=0，l 2：2x+4(m-3)y-1=0，如果 l1//l2,求 m 的值； (3)已知直线 l1:ax+2y+6=0, l2：x+(a-1)y+a 2-1=0，如果 l 1//l2,求 a的值. 解： （1） 12, 211230,1llaaaaa （2） 2 12, 2432334llmmmmmm或，经检验 m=3 或 m=-4 既为所求； （3） 12, 1212lla aaa或，当 a=2时，l1与 l2重合，故舍去， 经检验 a=-1 为所求. 点评：两直线的平行或垂直可以用斜率来解，但要考虑斜率不存在时对字母的讨 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 论如此例中的（ 1）a=1（2）m=3 的情形 变式 1： 已知直线 l1经过点 A(2,a),B(a-1,3),直线 l2经过点 C(1,2),D(-3,a+2). (1)若 l1l2,求 a 的值; (2)若 l1l2,求 a 的值. 考点 2：两直线的交点 例 2： 已知两直线 a1x+b1y+1=0和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3), 求过两点 Q1(a1,b1), Q2(a2,b2)的直线方程 . 解：方法一：由题意点P(2,3)在两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 上，所以有 1111 22 ,:23232310 33 PQ kPQybxaxyabxy即为所 求过 Q1、Q2的直线方程。

方法二：由题意点 P(2,3)在两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 上， 所以有 11 2310ab， 22 2310ab，即 111222 ,,Q a bQa b、两点都在直线 2x+3y+1=0 上，因为两点确定一条直线，所以2x+3y+1=0 即为所求过 Q1、Q2的 直线方程 点评：方法二注意到确定直线的条件，使解题简化 变式 2：已知直线 ( m 2)x(2 m 1)y3(m 4)0. (1) 求证：不论 m怎样变化，直线恒过定点； (2) 求原点 (0,0) 到直线的距离的最大值 考点 3：对称问题 例 3.（03 全国 10）已知长方形的四个项点A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点 P0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到 CD、 DA 和 AB 上的点 P2、 P3和 P4（入射角等于反射角）， 设 P4坐标为（ 44 ,0),1x2,tanx若则的取值范围是（） A) 1 , 3 1 (B) 3 2 , 3 1 (C) 2 1 , 5 2 (D) 3 2 , 5 2 ( 11 12 1212 2212 2310 2 230 23103 ab bb aabb abaa 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 解：如图： P0(1,0),P0关于 BC 的对称点 M1(3,0),M1关于 DC 的对称点 M2(3,2),M2 关于 AD 对称点 M3(-3,2), 设 P4(x4,0)， 4 12,x 3 03 43 , M PM PM B kkk 30334 12 ,,=-tan, 25 1221 <-tan<-,tan.. 2552 M PM BM P kkk C 由入射角等于反射角得 故选 也可充分利用几何图形，通过临界位置，找出取值范围，可令x4=1，此时 P4与 P0重合， 依据入射角等于反射角， 即知 P1、 P2和 P3均为各边的中点，此时 2 1 tan， 而选择支中只有 C 以 2 1 为临界，故选 C. 点评：本题将台球运动与数学知识有机地结合，考查学生灵活处理代数与几何 相结合问题的能力； 解决对称问题要抓住入射角等于反射角这个关键，从而转 化为求对称点的坐标，使问题得以解决。

变式 3：（绍兴模拟）直角坐标系 xOy 中， 坐标原点 O(0,0),以动直线 l:y=mx+n(m,n R)为轴翻折，使得每次翻折后原点都落在直线y=2 上. （1）求以（ m,n）为坐标的点的轨迹G的方程； （2）过点（0,5/4 ）作斜率为 k 的直线 l , 交轨迹 G与 M,N两点. 问是否存在直 线 l , 使OMN 的面积等于某一给定的正常数a, 说明你的理由 . 考点 4：点到直线的距离 例4 (99 全 国 ) 如 图 ， 给 出 定 点00,aaA和 直 线 Bxl.1:是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于 M1 M3 P1 P2 M2 P3 P4 D C B A P0 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 点C.求点C的轨迹方程 解法一 ：依题意，记,, 1RbbB则直线 OA 和 OB 的方程分别为0y和 .bxy 设点yxC,，则有ax0，由 OC 平分 AOB，知点 C 到 OA、OB 距离相等 . 根据点到直线的距离公式得 . 1 2 b bxy y 依题设，点 C 在直线 AB 上，故有 . 1 ax a b y 由0ax，得. 1 ax ya b 将式代入式得 , 11 1 2 2 22 2 ax xya y ax ya y 整理得. 0121 222 yaaxxay 若0y，则axyaaxxa00121 22 ； 若0y，则AOBb,0，点 C 的坐标为（ 0，0） ，满足上式 . 综上得点 C 的轨迹方程为 axyaaxxa00121 22 解法二 ：如图，设 D 是l与 x轴的交点，过点 C 作 CE x轴，E 是垂足 . （）当 | BD |0 时，设点 C（ x，y） ，则. 0,0yax 由 CEBD 得 .1a xa y EA DACE BD 因为 COA=COB=CODBOD =COABOD， 所以 2COA=BOD D 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 所以 2 2 2, 1 COA COA COA tan tan tan BODBODtantan 因为, y COA x tan1. BDy BODa ODax tan 所以,1 1 2 2 2 a xa y x y x y 整理得.00121 22 axyaaxxa （）当 | BD | = 0时， BOA = ，则点 C 的坐标为（ 0，0） ，满足上式 . 综合（）， （） ，得点 C 的轨迹方程为 .00121 22 axyaaxxa 点评： 解法一利用了角平分线上的点到角的两边距离相等，用距离公式计算得到， 解法二充分利用角平分线、平行线，得到角之间的关系，用二倍角公式求得，计 算量上法二优于法一。

变式 4： （20XX 年 上海）如图，平面中两条直线 1 l 和 2 l 相交于点 O，对于平面 上任意一点 M，若p、q分别是 M 到直线 1 l 和 2 l 的距离，则称有序非负实数对 （p，q）是点 M 的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列命题： 若pq0，则“距离坐标”为（ 0，0）的点 有且仅有 1 个； 若pq0，且pq0，则“距离坐标”为 （p，q）的点有且仅有2 个； 若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的 点有且仅有 4 个 上述命题中，正确命题的个数是（） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3 【同步练习】： 1.(2008福建福州模拟 )已知两条直线 12 :0,:0,laxbyclmxnyp则 an=bm 1 l 2 l O M（p，q） 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 是直线 12 / /ll 的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. （05 北京 2） “m= 2 1 ”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的( ) （A）充分必要条件（B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 3. 若点 P((a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4，且该点在不等式 2x-y0)，那 么 l2的方程是 ( ) (A) bx+ay+c=0 (B) axby+c=0 (C) bx+ayc=0 (D) bxay+c=0 8.（2009台湾，D）坐标平面内有两条平行直线，它们的横截距相差20，纵截距 相差 15，则这两条平行直线的距离为 9已知实数 x、y 满足 2xy50，那么x 2y2的最小值为 ________ 10.三条直线42,2 22 yxmxxyxy将圆面和分成若干块，现用 6 种不 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有720 种不同的涂法，则实数m 的取值范围是。

11 （09 全国 16）若直线 m 被两平行线 12 :10:30lxylxy与所截得的 线段的长为22，则 m的倾斜角可以是 153045 6075w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号） 12.已知 aR，直线(1a)x(a1)y4(a1)0 过定点 P，点 Q 在。