甘肃省2019年中考数学总复习 第四单元 图形初步与三角形 考点强化练17 直角三角形与锐角三角函数练习.doc

考点强化练17　直角三角形与锐角三角函数基础达标一、选择题1.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是(　　)　　　　 　　　　　 　　　　　 A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案C2.(2018湖北孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于(　　)　　　　 　　　　　 　　　　　 A.35 B.45C.34 D.43答案A解析在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8,∴BC=AB2-AC2=102-82=6,∴sin A=BCAB=610=35,故选A.二、填空3.(2018浙江湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan ∠BAC=13,AC=6,则BD的长是　　　　　. 答案2解析∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,OA=12AC=3,BD=2OB.在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,∴tan ∠BAC=OBOA=13,∴OB=1,∴BD=2.4.(2018浙江宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为　　　　　米(结果保留根号). 答案1 200(3-1)解析由于CD∥HB,∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°,在Rt△ACH中,∵∠CAH=45°∴AH=CH=1 200米,在Rt△HCB中,∵tan B=CHHB,∴HB=CHtanB=1 200tan30°=1 20033=1 2003(米).∴AB=HB-HA=1 2003-1 200=1 200(3-1)米.三、解答题5.(2018江苏徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽.(精确到0.1 m)(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解如图所示,过点A,D分别作BC的垂线AE,DF交BC于点E,F,所以△ABE,△CDF均为直角三角形,又因为CD=14 m,∠DCF=30°,所以DF=7(m)=AE,且FC=73(m)≈12.1(m)所以BC=7+6+12.1=25.1(m).6.(2018四川南充)计算:(1-2)2-1-220+sin 45°+12-1.解原式=2-1-1+22+2=322.7.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈712,cos 35°≈56,tan 35°≈710)解作AD⊥BC交CB的延长线于点D,设AD为x m,由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,在Rt△ADB中,∵∠ABD=45°,∴DB=x.在Rt△ADC中,∵∠ACD=35°,∴tan ∠ACD=ADCD.∴xx+100=710,解得,x≈233.答:热气球离地面的高度约为233 m.能力提升一、选择题1.已知α为锐角,且2cos (α-10°)=1,则α等于(　　)A.50° B.60°C.70° D.80°答案C2.(2018贵州贵阳)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan ∠BAC的值为 (　　)A.12 B.1 C.33 D.3答案B解析连接BC,由网格可得AB=BC=5,AC=10,即AB2+BC2=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,则tan ∠BAC=1.3.(2018四川绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,则海岛B离此航线的最近距离是(　　)(结果保留小数点后两位)(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)A.4.64海里 B.5.49海里C.6.12海里 D.6.21海里答案B解析如图所示,由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,作BD⊥AC于点D,以点B为顶点、BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,则∠BED=30°,BE=CE,设BD=x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=3x,∴AC=AD+DE+CE=23x+2x,∵AC=30,∴23x+2x=30,解得:x=15(3-1)2≈5.49,故选B.二、填空题4.(2018山东滨州)在△ABC中,∠C=90°,若tan A=12,则sin B=　　　　. 答案255解析如图所示,∵∠C=90°,tan A=12,∴设BC=x,则AC=2x,故AB=5x,则sin B=ACAB=2x5x=255.5.(2018山东泰安)如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tan C=34,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过点D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为　　　　　　　. 答案S=-325x2+32x解析(1)在Rt△CDE中,tan C=34,CD=x∴DE=35x,CE=45x,∴BE=10-45x,∴S△BED=12×10-45x·35x=-625x2+3x.∵DF=BF,∴S=12S△BED=-325x2+32x.6.(2018江苏无锡)已知△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,则△ABC的面积等于　　　　　. 答案153或103解析作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,①如图1,当AB,AC位于AD异侧时,图1在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=ABsin B=5,BD=ABcos B=53,在Rt△ACD中,∵AC=27,∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3,则BC=BD+CD=63,∴S△ABC=12·BC·AD=12×63×5=153;②如图2,当AB,AC在AD的同侧时,图2由①知,BD=53,CD=3,则BC=BD-CD=43,∴S△ABC=12·BC·AD=12×43×5=103.综上,△ABC的面积是153或103.三、解答题7.(2018山东临沂)如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(3+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?解工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.理由是:过点B作BD⊥AC于点D,∵AB>BD,BC>BD,AC>AB,∴求出DB长和2.1 m比较即可,设BD=x m,∵∠A=30°,∠C=45°,∴DC=BD=x m,AD=3BD=3x m,∵AC=2(3+1)m,∴x+3x=2(3+1),∴x=2,即BD=2 m<2.1 m,∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.8.(2018广西桂林)如图所示,在某海域,一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上,且BC=60海里;指挥船搜索发现,在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A,恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救,已知海监船A的航行速度为30海里/小时,则渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援?(参考数据:2≈1.41,3=1.73,6≈2.45,结果精确到0.1小时)解因为A在B的正西方,延长AB交南北轴于点D,则AB⊥CD于点D∵∠BCD=45°,BD⊥CD,∴BD=CD,在Rt△BDC中,∵cos ∠BCD=CDBC,BC=60海里,即cos 45°=CD60=22,解得CD=302海里,∴BD=CD=302海里.在Rt△ADC中,∵tan ∠ACD=ADCD,即tan 60°=AD302=3,解得AD=306海里.∵AB=AD-BD,∴AB=306-302=30(6-2)海里.∵海监船A的航行速度为30海里/小时,∴渔船在B处需要等待的时间为AB30=30(6-2)30=6-2≈2.45-1.41=1.04≈1.0小时.故渔船在B处需要等待约1.0小时.〚导学号13814055〛8。