三角公式及推导祥尽解释.doc
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三角公式及推导(祥尽解释)三角公式及 推导 (祥尽解释）1———-—诱导公式:常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α)＝cosαtan(2kπ＋α)＝tanαcot(2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α)＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系：sin(π－α）＝sinαcos（π－α)＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin（2π－α)＝－sinαcos(2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α)＝－cotαcot(π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos(π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α)＝－cosαcos（3π/2＋α)＝sinαtan（3π/2＋α)＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin(3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α)＝－sinαtan（3π/2－α)＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα（以上k∈z) 诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin；tan→cot,cot→tan。
(奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号符号看象限）上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈z)，—α、180°±α，360°—α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋"； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”; 第三象限内切函数是“＋"，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 公式七：额外的定义2---同角三角函数基本关系⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α）＝11＋tan^2（α)＝sec^2（α)1＋cot^2（α)＝csc^2(α)证明:同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以”上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）由此,可得商数关系式3)平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方3-——两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式sin（α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos(α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβtan（α＋β）＝——--———- 1－tanα ·tanβ tanα－tanβtan（α－β)＝——-—-— 1＋tanα ·tanβ 和差公式的证明：(1) 两角差的余弦y A B O C xβββ(α-ββββββββα- ㎏βαββ-β)α令AO=BO=r点A的横坐标为点A的纵坐标为点B的横坐标为点B的纵坐标为由余弦公式可得：综上得：(2) 两角和的余弦(3) 两角和的正弦(4) 两角差的正弦(5) 两角和的正切(6) 两角差的正切4——-二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)表示一：sin2α＝2sinαcosα证明:因为 sin（a +b）=sina×cosb+cosa×sinb,令a=b=q ，所以,可得：sin2q=2×sinq×cosq 表示二:（以正切表示二倍角）sin2q= 證明：sin2q=2sinqcosq=2 cos2q =2tanq(） = 余弦二倍角公式：表示一:cos2α＝cos^2（α)－sin^2(α）＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2（α）证明：因为由和角公式：cos（a +b)=cosa×cosb-sina×sinb，令a=b=q ，所以，可得： cos2q=cos2q-sin2q=2cos2q-1=1-2sin2q表示二：cos2q= 證明：cos2q=2cos2q-1 = -1 = -1 = 2tanαtan2α＝———-- 1－tan^2(α)证明:因为由和角公式：tan（a +b)= ，令a=b=q ，所以，可得： tan2q= 結論：利用tanq可以將sin2q，cos2q，tan2q表示出來，整理如下： （a) sin2q= (b) cos2q= （c） tan2q= 用三角形直观表示如下：（图）6——-半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1－cosα或：sin^2(α/2）＝—-——- 2 1＋cosα cos^2（α/2）＝—-——— 2 1－cosα tan^2（α/2)＝————— 1＋cosα7——-万能公式万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α)).。
＊,（因为cos^2(α)+sin^2(α）=1)再把＊分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/（1＋tan^2(α）)然后用α/2代替α即可同理可推导余弦的万能公式正切的万能公式可通过正弦比余弦得到8-—-三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a）sin3q= 3sinq -4sin3q證明：sin3q=sin(q+2q）=sinqcos2q+cosqsin2q =sinq(1-2sin2q)+cosq（2sinqcosq) = sinq（1-2sin2q)+2sinqcos2q = sinq（1-2sin2q）+2sinq（1-sin2q） = 3sinq -4sin3q(b)cos3q=4cos3q -3cosq證明：cos3q=cos（q+2q)=cosqcos2q-sinqsin2q =cosq(2cos2q-1）-sinq(2sinq cosq） = cosq（2cos2q-1）-2sin2qcosq = cosq(2cos2q-1）-2（1-cos2q)cosq =4cos3q -3cosqsin3α＝3sinα－4sin^3(α）cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α)tan3α＝—————— 1－3tan^2(α)三倍角公式推导附推导：tan3α＝sin3α/cos3α＝(sin2αcosα＋cos2αsinα）/(cos2αcosα—sin2αsinα)＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α）sinα－sin^3（α)）/（cos^3(α)－cosαsin^2(α）－2sin^2(α)cosα）上下同除以cos^3(α)，得：tan3α＝（3tanα－tan^3（α))/(1—3tan^2(α））sin3α＝sin（2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos^2（α)＋(1－2sin^2(α)）sinα＝2sinα－2sin^3(α）＋sinα－2sin^2（α)＝3sinα－4sin^3（α)cos3α＝cos（2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos^2（α）－1）cosα－2cosαsin^2（α）＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3（α))＝4cos^3(α)－3cosα即sin3α＝3sinα－4sin^3（α）cos3α＝4cos^3（α）－3cosα三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数），所以要“挣钱”（音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”)☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。
9--—积化和差公式积化和差公式推导附推导：首先，我们知道sin(a+b）=sina*cosb+cosa＊sinb,sin(a-b)=sina*cosb—cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin（a—b）=2sina＊cosb所以，sina＊cosb=(sin（a+b）+sin（a—b））/2同理，若把两式相减,就得到cosa*sinb=（sin(a+b)—sin（a—b））/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa＊cosb—sina＊sinb，cos（a—。
