九年级数学提升精品讲义 一元二次方程的根与系数的关系（解析版）.docx

初中数学精品讲义 一元二次方程的根与系数的关系模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1．熟记一元二次方程的根与系数的关系；2．掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用；知识点一.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.知识点二.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．考点一：利用一元二次方程根与系数的关系求值例1．（2024·湖南岳阳·二模）已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 ．【答案】【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程的两个根是解题的关键．直接根据根与系数的关系即可解答．【详解】解：关于 x 的一元二次方程两个根，则 ．故答案为．【变式1-1】（2024·江西吉安·一模）已知方程的两个根分别为，，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握根与系数的关系公式是解本题的关键．根据一元二次方程根和系数的关系，得出两根的积即可．【详解】方程的两个根分别为，，，故答案为：．【变式1-2】（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，∴，故答案为：．【变式1-3】（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ．【答案】【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案.【详解】∵一元二次方程的两根分别为，，∴，∴，故答案为：.考点二：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值例2.（2024·湖南长沙·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．【答案】6【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，故答案为：6．【变式2-1】（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ．【答案】2024【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案．【详解】解： 是方程的两个根， ，， ， ．故答案为：2024．【变式2-2】（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 .【答案】【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴，∴，故答案为：．【变式2-3】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，，，，，．故答案为：．考点三：利用一元二次方程根与系数的关系求参数例3. （2024·山东临沂·二模）关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ．【答案】【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程和根的判别式，利用根与系数的关系求出，，根据则有，最后求解验证即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，∴，，∴，，，∴，解得或，当时，，方程无实数根，舍去，∴故答案为：．【变式3-1】（2024·四川广元·二模）已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ．【答案】【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．由一元二次方程根与系数的关系可知，，再整体代入中，求出m的值，代入原方程，判断是否有两个实数根即可．【详解】解：、是的两个实数根，，，，，，，，，当时，原方程为，，不合题意，应舍去；当时，原方程为，，符合题意；即m的值为．故答案为：．【变式3-2】（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 .【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出．【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是， 那么，，，．故答案为：．【变式3-3】（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可．【详解】根据题意可知，即，解得．∵，是方程的根，∴，．∵，则，解得．故答案为：．考点四：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ）①若方程的两个根是和2，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案．【详解】解：若方程的两个根是和2，则，∴，∴；故①正确；若是方程的一个根，则，∴或，故②错误；若，则，即有一个根是；故③正确；若方程有一个根是，则，当时，，即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．故④正确；综上可知，正确的是①③④，故选：C【变式4-1】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则        ②若方程的两根为和， 则③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根；④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根．其中真命题的个数 （    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解．【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为，∴是方程的解，即方程有实数解，∴，原命题为真命题；命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为，∴联立方程组得，∴解得，，∴，原命题为真命题；命题③，一元二次方程有两个相等的实根，∴，∵，则，∴，∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根，∴原命题是假命题；命题④，一元二次方程的一个根式，∴，∴，则，∵，∴，若是根，则，∴，∴原命题为真命题；综上所述，是真命题的有①②④，共3个，故选：B ．【变式4-2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为；②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根；③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，；④若c是方程的一个根，则一定有；⑤若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【详解】解：①当时，，是方程的解，①的说法正确；②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确．③若方程两根为，且满足，，，，，即可得出方程，必有实根，，③的说法正确；④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确；⑤若是一元二次方程的根，则，，，，，⑤的说法正确；综上，①③⑤的说法正确；故选：D．【变式4-3】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：．①已知，则，；②若关于的方程有实数根，则且；③若实数、满足，，则．以上结论正确的个数有（    ）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，利用因式分解法解①得到的方程，即可判断①，利用分类讨论即可判断②，利用一元二次方程的根与系数关系和公式法解方程即可判断③．【详解】解：①∵，∴，即，解得，；故选项①正确；②∵∴∴当时，，∴关于的方程有实数根，当时，是一元二次方程，∵关于的方程有实数根，∴解得且；综上可知，若关于的方程有实数根，则；故选项②错误；③∵，，∴，∴，解得或，或，∵，∴s和t是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴∴当时，则，此时，∴当时，则，此时，∴．故选项③错误，∴正确的是①，故选：B。