九年级数学提升精品讲义 因式分解（解析版）.docx

初中数学精品讲义 因式分解目录【考点一 判断是否是因式分解】 1【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3【考点三 找公因式】 4【考点四 判断能否用公因式法分解因式】 5【考点五 综合提公因式和公式法分解因式】 6【考点六 利用因式分解求代数式的值】 8【考点七 十字相乘法】 9【考点八 分组分解法】 13【考点九 因式分解法的应用】 16【过关检测】 201.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式.2.因式分解的方法：考点剖析【考点一 判断是否是因式分解】例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解本题的关键，【详解】解：A、属于整式的乘法计算，不符合题意；B、因式分解错误，不符合题意；C、属于因式分解，符合题意；D、因式分解错误，不符合题意；；故选：C．【变式训练】1．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【详解】解：A、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；B、是因式分解，选项正确；C、，左右两边不相等，选项错误；D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误．故选：B．2．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列各式的变形中，是因式分解的是（  ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据定义逐项分析即可．【详解】解：A．的右边不是积的形式，不是因式分解；B．的右边不是积的形式，不是因式分解；C．是因式分解；D．的右边不是积的形式，不是因式分解；故选C．【考点二 已知因式分解的结果求参数】例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（    ）A． B．5 C．1 D．【答案】C【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键．【详解】解：设，则，∴，解得：，故选C．【变式训练】1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（    ）A． B． C． D．4【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．2．（22-23八年级上·河北张家口·期末）若，则、的值分别为（    ）A．，2 B．4， C． ， D．4，2【答案】B【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值．【详解】解：，，，，，，、的值分别为：4，．故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键．【考点三 找公因式】例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了多项式的公因式，根据多项式的公因式定义来进行求解．【详解】解：在多项式中，各项的公因式是，故选：A．【变式训练】1．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键．【详解】解：，把分解因式，应提取的公因式是，故选：C．2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键．根据公因式的概念逐一判断选项即可．【详解】A、和的公因式是，不符合题意；B、和，没有公因式，符合题意；    C、和的公因式是，不符合题意；D、和的公因式是5，不符合题意；故选B．【考点四 判断能否用公因式法分解因式】例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. ，不是完全平方公式，故该选项不正确，不符合题意；    B. ，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；    C. ，是完全平方公式，故该选项正确，符合题意；    D. ，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意．故选：A．2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可．【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；故选：D．3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据完全平方公式进行判断，即可．【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；②；③，不能用完全平方公式分解因式；④；⑤．，所以能用完全平方公式分解因式的有3个．故选：C【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．【考点五 综合提公因式和公式法分解因式】例题：（23-24八年级上·新疆喀什·期末）分解因式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可；（2）首先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【详解】（1）原式；（2）原式．【变式训练】1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查因式分解．（1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解；（2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解．【详解】（1）；（2）．2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）分解因式：(1) (2) (3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（1）利用平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式分解即可；（3）整理后，利用完全平方公式分解即可；（4）整理后，利用提公因式法分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【考点六 利用因式分解求代数式的值】例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）若，则的值为 ．【答案】【分析】因式分解：先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解．【详解】解：∵，∴故答案为：【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．【变式训练】1．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知，则代数式 ．【答案】【分析】把所求式子因式分解为，再把已知条件整体代入求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确把所求式子因式分解为是解题的关键．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ．【答案】【分析】本题主要考查了因式分解、分母有理化、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．由分母有理化可得，然后再对因式分解，最后代入计算即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【考点七 十字相乘法】例题：（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．【变式训练】1．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；  第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式。