江苏省泰州市姜堰区艺术中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试卷 含解析.doc

2016-2017 学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二（上）第一次月考数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1．命题“∀x∈R，x 2+2x﹣6＞0”的否定　　．2．椭圆 的离心率 e=　　．3．抛物线 y2=16x 的焦点坐标是　　．4．双曲线 的两条渐近线方程为　　．5．已知双曲线的实轴长为 16，虚轴长为 12，则双曲线的离心率为　　．6．椭圆 4x2+y2=16 的长轴长等于　　．7．“x=1”是“x 2=1”的　　条件．（从“充分而不必要 ”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要 ”中选择适当的一种填空）8．若 F1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，过 F1 作直线与椭圆交于 A、B，则△ABF2 的周长为　　．9．在 Rt△ABC 中，C=90°，则 sinAsinB 的最大值是 　　．10．已知双曲线的方程为 ，则实数 m 的取值范围是　　．11．设等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn，S 4=1，S 8=17，则首项 a1=　　．12．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为　　．13．若抛物线 y2=2px（p＞0）的准线与圆 x2+y2﹣4x+2y﹣4=0 相切，则 p=　　．14．已知点 A（1，1），B ，C 是抛物线 y2=x 上三点，若∠ABC=90° ，则 AC 的最小值为　　．二、解答题（本题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14 分）已知命题 p：任意 x∈R，x 2+1≥a，命题 q：方程 ﹣ =1 表示双曲线．（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．16．（14 分）已知椭圆 C 的方程为 ．（1）求 k 的取值范围； （2）若椭圆 C 的离心率 ，求 k 的值．17．（14 分）在△ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a=2，c=3，cosB= ．（1）求 b 的值；（2）求 sin2C 的值．18．（16 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F 2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 M（4 ，﹣ ）．（1）求双曲线方程；（2）若点 N（3，m）在双曲线上，求证： 1•N 2=0．19．（16 分）已知抛物线 C 顶点在坐标原点，准线方程为 x=﹣1（Ⅰ）求抛物线 C 的方程．（Ⅱ）若直线经过抛物线 C 的焦点，与抛物线交于 A，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，求直线 AB 的方程．20．（16 分）若椭圆 过点（﹣3，2）离心率为 ，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为（x﹣8） 2+（y﹣ 6） 2=4，过⊙M上任一点 P 作 ⊙的切线 PA、PB 切点为 A、B ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q 当弦 PQ 最大时，求直线 PA 的直线方程；（3）求 的最大值与最小值．2016-2017 学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1．命题“∀x∈R，x 2+2x﹣6＞0”的否定　∃x ∈R，x 2+2x﹣6≤0　．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ ∀x∈R，x 2+2x﹣6＞0”的否定是：∃x ∈R，x 2+2x﹣6≤0．故答案为：∃x∈ R，x 2+2x﹣6≤0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2．椭圆 的离心率 e=　 　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆 的方程可得 a2，b 2，可得 c= ，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：由椭圆 的方程可得 a2=9，b 2=1，∴a=3，c= = ．∴ = ．故答案为： ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　3．抛物线 y2=16x 的焦点坐标是　（4，0）　．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接由 y2=2px（p＞0）型抛物线的方程求得 p，进一步得到 的值，则答案可求．【解答】解：由 y2=16x，得 2p=16，则 p=8， ，∴抛物线 y2=16x 的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．4．双曲线 的两条渐近线方程为　 　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线 的 a=4，b=3，焦点在 x 轴上而双曲线 的渐近线方程为 y=± x∴双曲线 的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想5．已知双曲线的实轴长为 16，虚轴长为 12，则双曲线的离心率为　 　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的基本概念得到 a=8，b=6 ，由此算出 c，再用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．【解答】解：不妨设双曲线方程为 （a＞0，b＞0）∵双曲线的实轴长为 16，虚轴长为 12，∴2a=16，2b=12，可得 a=8，b=6，c= = =10．由此可得双曲线的离心率为 e= = ．故答案为：【点评】本题给出双曲线实轴与虚轴，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．6．椭圆 4x2+y2=16 的长轴长等于　8　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】化椭圆方程为标准方程，求出长半轴长，则答案可求．【解答】解：由 4x2+y2=16，得 ，∴椭圆为焦点在 y 轴上的椭圆，则 a2=16，∴a=4．∴椭圆 4x2+y2=16 的长轴长等于 2a=2×4=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础的计算题．7．“x=1”是“x 2=1”的　充分而不必要　条件．（从“ 充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x=1” ⇒“x2=1”， “x2=1”⇒“x=1，或 x=﹣1”．【解答】解：∵“x=1” ⇒“x2=1”，“x2=1”⇒“x=1，或 x=﹣1”，∴“x=1”是“x 2=1”的充分而不必要条件，故答案为：充分而不必要．【点评】本题考查充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断，解题时要熟练掌握基本定义，合理地进行判断．8．若 F1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，过 F1 作直线与椭圆交于 A、B，则△ABF2 的周长为　16　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，分析可得△ABF 2 的周长等于 AF1+AF2+BF1+BF2=4a，由椭圆的标准方程可得 a 的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在椭圆 + =1 中，a=4，则=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8，即△ABF 2 的周长为 8；故答案为 16．【点评】本题考查椭圆的性质，注意将△ABF 2 的周长转化为 A、B 两点到椭圆两个焦点的距离之和．9．在 Rt△ABC 中，C=90°，则 sinAsinB 的最大值是 　 　．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角的三角函数的定义．【分析】利用基本不等式直接转化，sinAsinB≤ ，即可得答案．【解答】解：由基本不等式得 sinAsinB≤ ，∵在 Rt△ABC 中，C=90°，∴A+B ═90°，∴sinAsinB≤ = ，等号当 sinA═sinB═ 成立．故应填 ．【点评】考查基本不等式与两个角和为 90°，则两解的弦的平方和是 1．10．已知双曲线的方程为 ，则实数 m 的取值范围是　0＜m＜ 　．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据方程 表示双曲线，可知 m（2m﹣1）＜0，从而可求实数 m 的取值范围．【解答】解：∵方程 表示双曲线，∴m（2m ﹣1）＜0∴0＜m＜ ，故答案为：0＜m＜ ．【点评】本题考查的重点是双曲线的标准方程，解题的关键是确定双曲线标准方程中平方项的分母异号．11．设等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn，S 4=1，S 8=17，则首项 a1=　 或﹣ 　．【考点】等比数列的前 n 项和．【分析】由等比数列前 n 项和公式列出方程组，由此能求出首项．【解答】解：∵等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn，S 4=1，S 8=17，∴ ，解得 ，q=﹣2 或 ，q=2 ，∴首项 a1 为 ．故答案为： ．【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为　 　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据正三角形的性质可知 b=3c，进而根据 a，b 和 c 的关系进而求得a 和 c 的关系，则椭圆的离心率可得．【解答】解：依题意可知 b=3c∴a= = c∴e= =故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解．13．若抛物线 y2=2px（p＞0）的准线与圆 x2+y2﹣4x+2y﹣4=0 相切，则 p=　2　．【考点】抛物线的简单性质；圆的一般方程．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由圆心到抛物线的准线的距离等于圆的半径求得 p．【解答】解：由 x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，得（x﹣2） 2+（y+1） 2=9，∴圆 x2+y2﹣4x+2y﹣4=0 是以（ 2，﹣1）为圆心，以 3 为半径的圆，∵抛物线 y2=2px（p＞0）的准线 x= 与圆 x2+y2﹣4x+2y﹣4=0 相切，∴2﹣ （﹣ ）=3，即 p=2．故答案为：2．【点评】本题考查了圆的一般方程化标准方程，考查了抛物线的简单性质，训练了点到直线的距离公式，是基础题．14．已知点 A（1，1），B ，C 是抛物线 y2=x 上三点，若∠ABC=90° ，则 AC 的最小值为　2　．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出 B，C 的坐标，求出 AB，BC 的斜率，由斜率乘积等于 ﹣1 求得B，C 两点纵坐标间的关系，由两点间的距离公式得到|AC|，转化为 B 的纵坐标的函数，借助于基本不等式求最值．【解答】解：设 B（ ），C （ ），则 ， ，由∠ABC=90° ，得 kAB•kBC=﹣1，即（y 1+1）（y 2+y1）=﹣1，∴ ， ，= ，，∴|AC|= == =不妨设 y1+1＞0，∵ ，当且仅当 ，即 y1=0 时上式等号成立，此时 取最小值 1，∴AC 的最小值为 2．故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线垂直的条件，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．二、解答题（本题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14 分）（2012 秋•南京期末）已知命题 p：任意 x∈R，x 2+1≥a，命题q：方程 ﹣ =1 表示双曲线．（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围．【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．【分析】（1）由题意先求出 f（x ）的最小值，然后结合命题 p 为真命题，可知a≤ f（x） min，从而可求 a 的范围（2）因由为真命题，可知 a+2＞0，可求 a 的范围，然后结合 p 且 q 可知 p，q都为真，可求【解答】解（1）记 f（x。