人教B版选修22高中数学2.3.2《数学归纳法应用举例》同步练习题（1）.doc

数学归纳法应用举例对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．　　一、推理部分　　1．知识结构框图：2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．　　①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．　　②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．　　定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．　　③推理过程：　　从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．　　3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．　　①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； 　　②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；　　推理模式：“三段论”：　　ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；　　ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；　　ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．　　集合简述：　　ⅰ大前提：且x具有性质P；　　　ⅱ小前提：且；　　ⅲ结论：y也具有性质P；　　４．合情推理与演绎推理的关系：　　①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；　　②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；　　二、证明部分　　１．知识结构框图２．综合法与分析法　　①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．　　②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．　　学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．　　③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．　　学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾．　　3．数学归纳法　　一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：　　（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；　　（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法．　　学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提． 　　高考资源网三、考查要求　　“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：[来源:学|科|网Z|X|X|K]演绎推理 推理归纳和情推理类比2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理． ③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知，可以，，于是推出：对入任何，都有；而这个结论是错误的，显然有当时，．因此，归纳法得到的结论有待证明． 例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．[来源:学#科#网]类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的． ④推理过程：从具体问题出发　　观察、分析、比较、联想　　　归纳、类比　　　猜想． 3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．　①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； ②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（是）；　ⅱ小前提：所研究的特殊情况（是）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（是）；集合简述：ⅰ大前提：且具有性质；　ⅱ小前提：且；ⅲ结论： 也具有性质； 例题1．若定义在区间D上的函数对于D上的个值，总满足，称函数为D上的凸函数；现已知在上是凸函数，则中，的最大值是　　　　　．　　　　　　　　解答：由（大前提）[来源:学科网ZXXK]　　　　　　　　　　　因为在上是凸函数 （小前提）得　 （结论）　　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　因此，的最大值是 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型高考资源网４．和情推理与演绎推理的关系：　　①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性； 例２．设，（其中且）　　　（1）５＝２＋３请你推测能否用来表示；　　　（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 解答:（1）由＝＋＝　　　又＝　因此，＝　　（2）由＝ 即＝ 于是推测＝ 证明：因为：，（大前提）所以＝， ＝，＝，（小前提及结论）所以＝＋ ＝＝ [来源:学科网ZXXK] 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造＝是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论＝． 二．证明部分　　　１．知识结构数学归纳法　　　　　　　　　　　　　综合法证明直接证法分析法间接证法反证法２．综合法与分析法　①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．　②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例３．已知：，求证：　　　　　　　　证明：　　因为所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又由已知，因此，成立．　　　　　　　　　　　　由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．　　　　　　　　　　　　解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)这里表示了,()是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.ABMB／M／A／F 例4.求证抛物线，以过焦点的弦为直径的圆必与相切. 证明：（如图）作AA／、BB／垂直 准线，取AB的中点M，作MM／垂直准线.要证明以AB为 直径的圆与准线相切 只需证｜MM／｜＝｜AB｜ 由抛物线的定义： ｜AA／｜＝｜AF｜，｜BB／｜＝｜BF｜ 所以｜AB｜＝｜AA／｜＋｜BB／｜因此只需证｜MM／｜＝（｜AA／｜＋｜BB／｜）根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与相切.以上解法同学们不难以综合法作出解答. 解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法, 特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：　　　　 （1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；　　　　 （2）（归纳递推）假设ｎ＝（时命题成立，证明当 时命题也成立。

就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明的方法叫数学归纳法．　 （3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设ｎ＝时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即[来源:学科网ZXXK]确定证题方向；　　　　　　 　 数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．　　　　　　　　　　例５．已知数列的前和为，其中且(1)求(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解答：（1） 又，则，类似地求得 （2）由，，… 猜得： 以数学归纳法证明如下： ①当时，由（1）可知等式成立；②假设当时猜想成立，即 那么，当时，由题设得， 所以＝＝ － 因此， 所以 这就证明了当时命题成立. 由①、②可知命题对任何都成立. 解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理； （2）解题时注意已知式对任何都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步. 三．高考要求 高考强调对数学思维能力的考查，“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材. 近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察.高考资源网。