高数第二篇线性代数 相似矩阵及二次型习题.doc

38第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：．试用施密特法把下列向量组正交化：(1) ；； (2)   931421111 ),,(321aaa011101110111),,(321aaa解解 (1) 根据施密特正交化方法:令， ，   11111ab  101,,1 1121 22bbbabab，    12131 ,, ,,2 2232 1 1131 33bbbabbbbabab故正交化后得: ．311132013111),,(321bbb(2)根据施密特正交化方法:令; , 110111ab  123131 ,,1 1121 22bbbabab  433151 ,, ,,2 2232 1 1131 33bbbabbbbabab故正交化后得 54 31153 321531051 311),,(321bbb2．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:(1) ; (2) ．．121 312112131 21197 94 9494 91 9894 98 91解解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3 设 x 为 n 维列向量 xTx1 令 HE2xxT 证明 H 是对称的正交阵 证明 因为39HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT 所以 H 是对称矩阵 因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE 所以 H 是正交矩阵4．设．设与与都是都是阶正交阵，证明阶正交阵，证明也是正交阵．也是正交阵．ABnAB证明证明 因为是阶正交阵，故，BA,nAAT1BBT1EABABABABABABTTT11)()(故也是正交阵．AB5．求下列矩阵的特征值和特征向量．求下列矩阵的特征值和特征向量:(1); (2); (3).  4211633312321 )0( ,12121 aaaaaaannLM并问它们的特征向量是否两两正交并问它们的特征向量是否两两正交?解解 (1) ① . 故的特征值为．)3)(2(4211EAA3, 221② 当时,解方程,由210)2(xEA得基础解系 0011 2211)2(~EA 111P所以是对应于的全部特征值向量．)0(111kPk21当时,解方程,由320)3(xEA得基础解系 0012 1212)3(~EA  1212P所以是对应于的全部特征向量．)0(222kPk33③ 023121 ) 1 , 1(],[2121 PPPPT故不正交．21,PP(2) ① .)9)(1( 633312321     EA40故的特征值为．A9, 1, 0321② 当时，解方程，由010Ax得基础解系   000110321633312321~A    1111P故是对应于的全部特征值向量.)0(111kPk01当时,解方程，由120)(xEA得基础解系   000100322733322322~EA  0112P故是对应于的全部特征值向量)0(222kPk12当时，解方程，由930)9(xEA得基础解系  0002110111333382328 9~EA121213P故是对应于的全部特征值向量．)0(333kPk93③ ， ，0 011 ) 1 , 1, 1(],[2121 PPPPT012121)0 , 1 , 1(],[3232PPPPT， 所以两两正交．012121) 1 , 1, 1(],[3131PPPPT 321,,PPP(3) =2 2122 2121212 1nnnnnaaaaaaaaaaaaaaaEALMOMMLL)(22 22 11 nnnaaaL)(22 22 11 nnaaaL,  niinaaaa1222 22 11L032nL当时， niia12 1EA2 12 22 121222 32 11212122 32 2nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaLLMOMMLLLL41初等行变换 ~ 0000000000121LLMMOMMLLnnnnaaaaaa取为自由未知量，并令，设.nxnnax 112211,,nnaxaxaxL故基础解系为naaaPM211当时，032nL2 2122 2121212 10nnnnnaaaaaaaaaaaaaaaEALMMMLL00000021 ~LMMMLLnaaa初等行变换可得基础解系 112312200 ,,00 ,00aaPaaPaaPnn ML MM综上所述可知原矩阵的特征向量为 112212100,,,aaaaaaaPPPnnnLMMMLLL6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT与 A 的特征值相同 证明 因为|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以 AT与 A 的特征多项式相同 从而 AT与 A 的特征值相同 7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公共的特征向量 证明 设 R(A)r R(B)t 则 rtn若 a1 a2  anr是齐次方程组 Ax0 的基础解系 显然它们是 A 的对应于特征值0 的线性无关的特征向量 类似地 设 b1 b2  bnt是齐次方程组 Bx0 的基础解系 则它们是 B的对应于特征值0 的线性无关的特征向量42由于(nr)(nt)n(nrt)n 故 a1 a2  anr b1 b2  bnt必线性相关 于是有不全为 0 的数 k1 k2  knr l1 l2  lnt 使k1a1k2a2  knranrl1b1l2b2  lnrbnr0记  k1a1k2a2  knranr(l1b1l2b2  lnrbnr) 则 k1 k2  knr不全为 0 否则 l1 l2  lnt不全为 0 而l1b1l2b2  lnrbnr0 与 b1 b2  bnt线性无关相矛盾 因此  0  是 A 的也是 B 的关于0 的特征向量 所以 A 与 B 有公共的特征值 有公共的特征向量8 设 A23A2EO 证明 A 的特征值只能取 1 或 2 证明 设是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于的特征向量 则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为 x0 所以2320 即是方程2320 的根 也就是说1 或29 设 A 为正交阵 且|A|1 证明1 是 A 的特征值 证明 因为 A 为正交矩阵 所以 A 的特征值为1 或 1 因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1 是 A 的特征值10 设0 是 m 阶矩阵 AmnBnm的特征值 证明也是 n 阶矩阵 BA 的特征值 证明 设 x 是 AB 的对应于0 的特征向量 则有(AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 43从而是 BA 的特征值 且 Bx 是 BA 的对应于的特征向量 11 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A35A27A| 解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3 是(A)的特征值 故|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318 12 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A*3A2E|解 因为|A|12(3)60 所以 A 可逆 故A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E 令()61322 则(1)1 (2)5 (3)5 是(A)的特征值 故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)(2)(3)15(5)2513．设．设都是都是阶方阵，且阶方阵，且，证明，证明与与相似．相似．BA,n0AABBA证明证明 则可逆0AA则与相似．BABAAAAABA))(()(11ABBA14 设矩阵可相似对角化 求 x   50413102 xA解 由) 6() 1( 50413102 ||2    xEA得 A 的特征值为16 231 因为 A 可相似对角化 所以对于231 齐次线性方程组(AE)x0有两个线性无关的解 因此 R(AE)1 由   00030010140403101 )(~xxEAr44知当 x3 时 R(AE)1 即 x3 为所求 15 已知 p(1 1 1)T是矩阵的一个特征向量   2135212baA(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值 解 设是特征向量 p 所对应的特征值 则(AE)p0 即  0001112135212ba解之得1 a。