汉明码是1950年由Hamming首先构造的.docx

汉明码是1950年由Hamming首先构造的，它是一种能够自动检测并纠正一重错的线性纠错码，即SECSingle Error Correcting）码，它不仅性能好，而且编译码电路非常简单，易于实现从20世纪50 年代问世以来，在提高系统可靠性方面获得了广泛的应用最先用于以芯存储器，60年代初用于大型计算 机，70年代在MOS存储器中得到应用，后来在中小型计算机中普遍采用，目前常用于RFID系统中多位 错误的纠正设数据位数为m，校验位数为k，则总编码位数为n，n = m+k，有Hamming不等式：2k - 2* + 1 + 1 （10-1）对于这个不等式可以理解为：由于n位码长中有一位出错，可能产生n个不正确的代码（错误位也可 能发生在校验位），所以加上k位校验后，就需要定位昭m+k （=n）个状态用2k个状态中的一个状 态指出''有无错”，其余2k—1个状态便可用于错误的定位要能充分地进行错误定位，则须满足式（10 一 1）的关系由此不等式得到校验位数与可校验的最大信息位之间的关系见表表 Hamming校验位数与可校验的最大信息位数之间的关系授骏位敬比可校醴的最大信息位散编码总位数目校验位数k可校验的坡大信息位数堀码总垃数J1°1526312365763347?]201274 H 15Hamming码无法实现2位或2位以上的纠错，Hamming码只能实现一位纠错。

下面介绍汉明码距与编码纠错能力的关系汉明码距指的是长度相同的两个符号序列（码字）a和b之间对应位置上不同码元的个数，用符号D （a，b）表示，如两个二元序列：a=101111b=111100则得 D （a，b）=3有了汉明码距的概念，我们就可以用汉明码距来描述码的纠错检测能力如果一组编码的码长为n， 将这些资源全部利用上，可以对2n个符号进行编码，但这样一来这个编码就没有任何抗干扰能力，因为合 法码字之间的最小汉明码距为1，任何一个符号的编码的任意一位发生错误，就变成了另外一个符号的编 码，它也是一个合法的码字接收端不能判断是不是有错误发生我们可以在2n个可用的码字中间选择一些码字来对信源符号进行编码，把这些码字称为合法码字，而 其他没有使用的码字称为非法码字这样合法码字之间的汉明距离就会拉开，有些合法码字发生错误后有可能变成非法码字，接收端收到这些非法码字后就可以判断出传输过程中出现了错误码字之间的最小汉 明距离越大，编码的抗干扰能力就越强如果编码的最小汉明距离为2,那么任何合法码字发生一位错误 都会变成非法码字，但不能确定是由哪一个合法码字错误而来，因此这个编码可以发现一位错误；如果编 码的最小汉明距离为3,那么任何合法码字发生一位错误都会变成非法码字，而且距离原来的码字距离为 1，而距离其他任何合法码字的最小距离为2,因此可以确定这个非法码字是由哪一个合法码字发生错误而 来，这个编码用作纠错编码可以发现一位错误并纠正一位错误。

如果发生了两位错误，也可以发现，但是 如果试图纠正这个错误就会产生新的错误；如果把这种编码只当作检错编码，则可以发现两个错误筇此 类推，可以总结出编码的最小汉明码距与编码纠错检错能力之间的关系：① 要发现（检测）e个随机错误，则要求码的最小距离dmin〉e + 1;② 要纠正e个随机错误，则要求码的最小距离dmin >2e + 1；③ 要纠正e个随机错误，同时检测f （>c）个错误，则要求码的最小距离dmin >e + f+1如果一个分组码的数据位长度为k，校验位长度为乌总的编码长度为n，n=k+r，则总的可以编码 的合法码字的个数为2七总的码字个数为2n，可以看出，检验位的长度越长，合法码字所占的比例就越小， 如果这些码字能够尽可能地在所有的码字中均匀分布的话，合法码字之间的最小汉明码距就越大，编码的 抗干扰能力也就越强，因此设计编码方法的最重要的任务就是尽量使合法码字尽可能地均匀分布欢迎转载，信息来源维库电子市场网（——进行奇偶校验的方法是先计算数据中1的个数，通过增加一个0或1（称为校验位）， 使1的个数变为奇数奇校验）或偶数偶校验）例如，数据1001总共是4个比特位， 包括2个1，1的数目是偶数，因此，如果是偶校验，那么增加的校验位就是一个0, 反之，增加一个1作为校验位。

通过 异或”运算来实现偶校验， 同或'运算来实现奇校验单个比特位的错误可以通过计算1的数目是否正确来检测出来，如果1的数目 错误，说明有一个比特位出错，这表示数据在传输过程中受到噪音影响而出错利用 更多的校验位，汉明码可以检测两位码错，每一位的检错都通过数据中不同的位组合 来计算出来校验位的数目与传输数据的总位数有关，可以通过汉明规则进行计算：d+p+1<=2的p次方d表示传输数据位数目，P表示校验位数目两部分合称汉明码 字，通过将数据 位与一个生成矩阵相乘，可以生成汉明码字2008-07-05 19:10针对4位数据的汉明码编码示意图汉明码是一个在原有数据中插入若干校验码来进行错误检查和纠正的编码技术 以典型的4位数据编码为例，汉明码将加入3个校验码，从而使实际 传输的数据位达 到7个（位），它们的位置如果 把上图中的位置横过来就是：数据位1 2 3 4 5 6 7代码P1 P2 D8 P3 D4 D2 D1说明第1个汉明码第2个汉明码第1个数据码第3个汉明码第2个数据码第3个数据码第4个数据码注：Dx中的x是2的整数幕(下面的幕都是指整数幕)结果， 多少幕取决于码位，D1是0次幕，D8是3次幕，想想二进制编码就知道了。

另外，汉明码加插的位 置也是有规律的以四位数据为例，第一个汉明码是第一位，第二个是第二位，第三 个是第四位，1、2、4都是2的整数幕结果，而这个幕次数是从0开始的整数这样 我们可以推断出来，汉明码的插 入位置为1 (20 (注：20表示2的0次幕))、2 (21 )、 4 (22 )、8 (23)、16 (24 )、32 (25) 编辑本段汉明码的编码原理现以数据码1101为例讲讲汉明码的编码原 理，此时D8=1、D4=1、D2=0、D1=1， 在P1编码时，先将D8、D4、D1的二进制码相加，结果为奇数3，汉明码对奇数结 果编码为1，偶数结果为0，因此P1值为1，D8+D2+D1=2，为偶数，那么P2值为0， D4+D2+D1=2，为偶数，P3值为0这样，参照上文的位置 表，汉明码处理的结果就 是1010101在这个4位数据码的例子中，我们可以发现每个汉明码 都是以三个数据 码为基准进行 编码的下面就是它们的对应表：汉明码编码用的数据码P1D8、D4、D1P2D8、D2、D1P3D4、D2、D1从编码形式上，我们可以发现汉明码是一个校验很严谨的编码方式在这个例子 中，通过对4个数据位的3个位的3次组合检测来达 到具体码位的校验与修正目的(不 过只允许一个 位出错，两个出错就无法检 查出来了，这从下面的纠错 例子中就能体现 出来)。

在校验时则把每个汉明码与各自对应的数据位值相加，如果结果为偶数(纠 错代码为0)就是正确，如果为奇数(纠 错代码为1)则说明当前汉明码所对应的三 个数据位中有 错误，此时再通过其他 两个汉明码各自的运算来确定具 体是哪个位出了 问题还是刚才的1101的例子，正确的编码应该是1010101，如果第三个数据位在传输途中因干扰而变成了 1,就成了 1010111检测时，P1+D8+D4+D1的结果是偶数4, 第一位纠错代码为0，正确P2+D8+D2+D1的结果是奇数3，第二位纠错代码为1, 有错误P3+D4+D2+D1的结果是奇数3,第三但纠错代 码代码为1，有错误那么具 体是哪个位有错误呢？三个纠错代码从高到低 排列为二进制编码110，换算成十进制 就是6，也就是说第6位数据错了，而数据第三位在汉明码编码后的位置正好是第6 位6.4 二进制移相键控(2PSK)及二进制差分移相键控 (2DPSK)本节讨论：•6.4.1、2PSK信号及2DPSK信号的定义•6.4.2、2PSK信号及2DPSK信号的波形•6.4.3、2PSK信号的时域表达式•6.4.4、2PSK信号的功率谱密度#6.4.5、2PSK信号的产生•6.4.6、2PSK信号的解调#6.4.7、2DPSK 方式•6.4.8、2PSK及2DPSK系统的抗噪声性能^6.4.1、2PSK、 2DPSK 信号的定义：◎一、2PSK:数字信号死)的“ 1”都对应于已调信号5®中的载波0相位；数字信号质)的 “0”都对应于已调信号中互咬熨幻载波芯相位，反之亦然。

这种调相方式称为“绝对调 相”又称二相绝对调相(2PSK)注意:1、无论哪一种对应关系，已调信号的相位变化都是相对于一个固定的参考相位未调载波的相位来取值2、在实际应用中，存在相干载波相位模糊问题，即在二相绝对调相接收中可能出现倒芯现象为此，也可采用差分编码，这里通常称为相对（差分）移相，每一个码元中载波相位的变化不是以固定相位作参考，而是以前一码元载波的相位为参考二、2DPSK:当数字信号员"为“1”时，码元中载波的相位相对于前一个码元的载波相位变化n ；当数字信号瓦为“0 ”时，码元中载波的相位相对于前一码元的载波相位不变化，反之亦然这种调相方式称为二相相对调相（2DPSK）J6.4.2、2PSK、 2DPSK 信号波形2、从波形中可以看出，数字信号（码）和已调载波的相位关系见下表:数字信号（码）101100101绝对相位｛饥0n00nn0n0已调载波{④1}0nn0nnn00n每个码元的相位相对相位{④2}n00n000nn0{△饥n0nn00n0n相对（差分）码(1)(2)0oo0ooooooJ6.4.3、2PSK信号的时域表达式:2PSK采用的两种载波信号是COS fl?/+筮)=一 cos。

为信息码元，且叫♦ “°），在二进制频相键控2PSK中，当传送“1”码时对应于载波的初始相位为0,传送“0”码时对应于载波的初始相位为沈，即D _ fl,概率为F对应于EgH [0?概率为（1-予），对应于一交心川-吃） （7 = 21）-1 D =1为使变为双极性不归零脉冲信号，令"一 B ，当M -，所以 为双极性不归零脉冲信号，其4=1 r D=0^ =-1咨 ;当” 时，*中4心1)2PSK信号的时域表达式:昌（£）=其中，L 0 <7；0」其他令 ，此时技力为双极性不归零脉冲序列，则J6.4.4、2PSK信号的功率谱密度:在2PSK信号的时域表达式为其中为双极性不归零脉冲序列，则2PSK信号的功率谱密度乌建1/）=，［即顶-£）+剧/+丸）］因为瓦"为双极性不归零脉冲序列，根据式（5.3-9）可得) w必1 -知％+豚+同厂兀)「］+"-1)的 o)「［沦+—)+，&—兀)］(6.4-5)p- 1/当 时，。