中考数学一轮考点复习精讲精练专题16 三角形相似【考点精讲】（解析版）.doc

专题16 三角形相似1. 比例的基本性质（1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比.（2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.（3）若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项.（4）比例的基本性质:⇔ad=bc.（5）合比性质:.（6）等比性质:=…=(b+d+…+n≠0)⇒.（7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.（8）平行线分线段成比例定理:①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.2. 相似三角形（1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形. （2）似三角形的判定定理① 相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似;② 相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似;③ 相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;④ 平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;⑤ 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj （3）性质:①相似三角形的对应角相等; ②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例; ③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 3. 相似多边形（1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.（2）性质:①相似多边形的对应角相等、对应边成比例.②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.4. 图形的位似（1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比.（2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方. 【考点1】比例的有关概念和性质【例1】（比例的性质） 已知a，b，c是非零实数，且，其中a＋b＋c≠0，则k的值为________．【答案】##0.5【分析】先将原式写成整式的形式，然后再求解即可．【详解】解：，，．当a＋b＋c≠0时，2k=1，即k＝．故填：．【例2】（成比例线段）（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（       ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，∵，∴，又∵，∴ 故选：C1．若，则的值为（　　）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】∵，∴==，故选：D2．（2020成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解析】∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴，∴DE=，故选：D．3．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=故选：D．4．已知，那么下列比例式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】由，根据比例的性质，即可求得答案．【详解】解：，或．故选B．5．已知，则＝______．【答案】【解析】【分析】先把式子变成，再代值计算即可得出答案．【详解】∵，∴==，故答案是： 【考点2】黄金分割【例3】（2022·湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（       ）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m， ∴   ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B．黄金分割的概念和性质：若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.1．（2022·山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（       ）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割【答案】D【分析】根据黄金分割的定义即可求解．【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D2．（2021·四川巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对【答案】A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．【解析】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴，∴（20−x）2＝20x，故选：A．3．（2022·陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．【答案】##【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．4．已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝_____cm．（结果保留根号）【答案】5﹣5【分析】根据黄金比值是列式计算即可．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝（5﹣5）cm，故答案为：5﹣5． 【考点3】相似图形的判定与性质【例4】（三角形相似的判定）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，C、两三角形对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，故选：C．【例5】（补充条件使三角形相似的性质）如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；B、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；C、当时，即，再由，可得出，故此选项不合题意；D、当时，无法得出，故此选项符合题意．故选：D．【例6】（三角形相似的性质求周长）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CDAB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5【答案】A【详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，∴△BCD∽△BAC；①∴∠BCD=∠A=30°，在Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故选：A【例7】（三角形相似的性质求面积）（2022·广西）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（       ）A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：C．【例8】（三角形相似的性质求线段长度）（2022·黑龙江哈尔滨）如图，相交于点E，，则的长为（       ）A． B．4 C． D．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．【详解】∵ ∴ ∴ ∵，∴ ∵ ∴ 故选：C．判定三角形相似的几种思路方法（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A”型（如图①）和“X”型（如图②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似.若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等.（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.1．如。