构造函数法解导数和数列综合问题.doc

导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线 （Ⅰ）依题意有，解得，又， 联立可解得， （Ⅱ）， 先证：， 证法一：利用数学归纳法 当时，，命题成立， 假设时，命题成立，即， 则当时， ∵，故． ∴当时，命题成立，故成立．证法二：，，下证：． 不妨设，令，则在上恒成立，故在上单调递减，从而，即．综上，成立．2．设函数表示的导函数． （I）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；（Ⅲ）当k为奇数时， 设，数列的前项和为，证明不等式对一切正整数均成立，并比较与的大小．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）， 又 ， 当k为奇数时，，即的单调递增区间为． 当k为偶函数时，由，得，即的单调递增区间为，综上所述：当k为奇数时，的单调递增区间为，当k为偶数时，的单调递增区间为 （Ⅱ）当k为偶数时，由（Ⅰ）知， 所以根据题设条件有∴{}是以2为公比的等比数列，∴ （Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k为奇数时，由已知要证两边取对数，即证事实上：设则因此得不等式 …………………………………………①构造函数下面证明在上恒大于0．∴在上单调递增，即∴ ∴即成立． 由得即当时， 3．已知，函数．（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若在区间 上是单调递增函数，试求实数的取值范围；（Ⅲ）当 时，设数列 的前项和为，求证：解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． 当时，，递减； 当时，，递增． 所以不是定义域上的单调函数．（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． 即 ． （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 又当时，， ，即． 令则，当时， 从而函数在上是递增函数，所以有即得 综上有： 令时，不等式也成立， 于是代入，将所得各不等式相加，得 即即 4．设函数．（是自然对数的底数）（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列满足：，且 ①求证：；②比较与的大小．解：（Ⅰ）， 令 当时，在上是增函数 当时，在上是减函数 从而 注意到函数在上是增函数， 从而 从而 综上可知：有两个零点． （Ⅱ）因为即， 所以 ①下面用数学归纳法证明． 当时，，不等式成立． 假设时， 那么 即 这表明时，不等式成立． 所以对， ②因为，考虑函数 ，从而在上是增函数 所以，即 5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，=2．71828…）和任意正整数，总有；（3）在正数数列中，．求数列中的最大项．解：由已知：对于，总有成立…（1） …（2）（1）—（2）得均为正数， 数列是公差为1的等差数列 又时，，解得， （2）证明：对任意实数和任意正整数，总有 （3）解：由已知 ，， ， 易得 猜想时，是递减数列 令，则 当时，，则，即 在内为单调递减函数， 由知 时，是递减数列，即是递减数列 又，数列中的最大项为 6．已知（1）求函数的极值点；（2）若函数在上有零点，求的最小值；（3）证明：当时，有成立；（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．解：（1）由题意，的定义域为,函数的单调递增区间为和，的单调递减区间为，所以为的极大值点，为的极小值点， （2）在上的最小值为且，在上没有零点，函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，易验证当时均有所以函数在上有零点，即函数在上有零点， 的最大值为 （3）证明：当时，不等式即为：构造函数则所以函数在上是减函数，因而时，即：时，成立，所以当时，成立；（4）因为令，得，因此，当时，有所以当时，，即 又通过比较的大小知：，因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项，即．7．在数列中， （I）求证：数列为等差数列； （II）若m为正整数，当时，求证：．解：（I）由变形得：故数列是以为首项，1为公差的等差数列 （II）（法一）由（I）得令当又则为递减数列．当m=n时，递减数列． 要证：时，故原不等式成立． （法二）由（I）得令上单调递减．∴也即证，故原不等式成立． 。