661编号八年级下学期专题培优.pdf

1 - 八年级数学最短路径问题八年级数学最短路径问题 【问题概述】【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点 之间的最短路径算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径 【问题原型】【问题原型】“将军饮马” ， “造桥选址” ， “费马点” 【涉及知识】【涉及知识】“两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “三角形三边关系” ， “轴对称” ， “平移” 【出题背景】【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 【解题思路】【解题思路】找对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查 【十二个基本问题十二个基本问题】 【问题【问题 1】】作法作法图形图形原理原理 在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小 连 AB，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 AB 【问题【问题 2】】 “将军饮马”“将军饮马”作法作法图形图形原理原理 在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小 作B关于l的对称点B连 A B，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 A B 【问题【问题 3】】作法作法图形图形原理原理 在直线、上分别求点 1 l 2 l M、N，使PMN 的周长 最小 分别作点 P 关于两直线的 对称点 P和 P ， 连 P P ， 与两直线交点即为 M， N 两点之间线段最短 PM+MN+PN 的最小值为 线段 P P 的长 【问题【问题 4】】作法作法图形图形原理原理 在直线、上分别求点 1 l 2 l M、N，使四边形 PQMN 的周长最小 分别作点 Q 、P 关于直线 、的对称点 Q和 P 1 l 2 l 连 Q P ，与两直线交点即 为 M，N 两点之间线段最短 四边形 PQMN 周长的最小 值为线段 P P 的长 【问题【问题 5】】 “造桥选址”“造桥选址”作法作法图形图形原理原理 l A B l P B A l B A l P B A B l1 l2 P l1 l2 N M P P P l1 l2 N M P Q Q P l1 l2 P Q - 2 - 直线，在、，mnmn 上分别求点 M、 N， 使 MN ，且 AM+MN+BN 的值m 最小 将点 A 向下平移 MN 的长 度单位得 A， 连 A B， 交n 于点 N，过 N 作 NMm 于 M 两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为 A B+MN 【问题【问题 6】】作法作法图形图形原理原理 在直线 上求两点 M、Nl （M 在左） ，使，aMN 并使 AM+MN+NB 的值最 小 将点 A 向右平移个长度a 单位得 A，作 A关于l 的对称点 A ， 连 A B，交 直线 于点 N，将 N 点向l 左平移个单位得 Ma 两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为 A B+MN 【问题【问题 7】】作法作法图形图形原理原理 在上求点 A，在上求 1 l 2 l 点 B，使 PA+AB 值最小 作点 P 关于的对称点 1 l P，作 P B 于 B，交 2 l 于 A 2 l 点到直线，垂线段最短 PA+AB 的最小值为线段 P B的长 【问题【问题 8】】作法作法图形图形原理原理 A 为上一定点，B 为 1 l 2 l 上一定点， 在上求点 M， 2 l 在上 求 点N， 使 1 l AM+MN+NB 的值最小 作点 A 关于的对称点 2 l A，作点 B 关于的对 1 l 称点 B，连 AB交 2 l 于 M，交于 N 1 l 两点之间线段最短 AM+MN+NB 的最小值为 线段 A B 的长 【问题【问题 9】】作法作法图形图形原理原理 在直线 l 上求一点 P，使 的值最小最小PBPA 连 AB，作 AB 的中垂线与 直线 l 的交点即为 P 垂直平分上的点到线段两 端点的距离相等 0PBPA m n M N A B A l a A B MN m n A B M N l A A B A MN l1 l2 A B P P l1 l2 P l2 l1 A B N M l2 l1 M N A B A B l B A l P B A - 3 - 【问题【问题 10】】作法作法图形图形原理原理 在直线 l 上求一点 P，使 的值最大最大PBPA 作直线 AB，与直线 l 的交 点即为 P 三角形任意两边之差小于 第三边ABPBPA 的最大值ABPBPA 【问题【问题 11】】作法作法图形图形原理原理 在直线 l 上求一点 P，使 的值最大最大PBPA 作B关于l的对称点B作 直线 A B， 与 l 交点即为 P 三角形任意两边之差小于 第三边PBPA AB 最大值ABPBPA 【问题【问题 12】】 “费马点”“费马点”作法作法图形图形原理原理 ABC 中每一内角都小于 120， 在ABC 内求一点 P， 使 PA+PB+PC 值最小 所求点为“费马点” ，即满 足APBBPC APC120以 AB、AC 为边向外作等边ABD、 ACE，连 CD、BE 相交 于 P，点 P 即为所求 两点之间线段最短 PA+PB+PC 最小值CD 一、求最值常用的知识点：1.两点之间线段最短。

2.垂线段最短1.两点之间线段最短 2.垂线段最短 3.斜边大于角边4.三角形任两边之和大于第三边3.斜边大于角边4.三角形任两边之和大于第三边 二、线段最值常用的方法： （一）作对称点（一）作对称点 例 ： 如图，菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点， 求 PE+PB 的最小值 练习: 练习: 1如图，在锐角ABC 中，AB4 ，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_____________ l B A l P A B l A B l B P A B A B C P E D CB A D D A A C C B B E E P P - 4 - 2 如图，菱形 ABCD 中，AB=4，A=120，点 M、N、P 分别为线段 AB、AD、 BD 上的任意一点，求 PM+PN 的最小值 3 3如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE1，AF2，若 P 为对角线 BD 上一动点，求 EPFP 的最小值 4 4如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD1，ADC60，将平行四边形 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处，折痕交 CD 边于点 E. (1)求证：四边形 BCED是菱形； (2)若点 P 是直线 l 上的一个动点，请计算 PDPB 的最小值 5 5如图，在矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，求 BM+MN 的 最小值。

6 - 5 - （二）找中点，找不变线段二）找中点，找不变线段 例：如图,ACB=90,BC=8,AC=6,点 P 为 AC 上一动点,连 BP,CMBP,求 AM 的最小值 练习 ： 如图， MON=90， 矩形 ABCD 的顶点 A、 B 分别在边 OM， ON 上， 当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为（ ） A B C. 2 D.3 （三）构造全等三角形（三）构造全等三角形 例：例： - 6 - 练习： 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上 任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，AMBENB 求证： （1） 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小 当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由 （2）当 AMBMCM 的最小值为3+1 时，求正方形的边长 补充练习补充练习 1如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC、CD 交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为（ ） A2B32 CD432 3.如图， 正方形 ABCD 的边长为 4， DAC 的平分线交 DC 于点 E， 若点 P， Q 分别是 AD 和 AE 上的动点， 则 DQPQ 的最小值是________ - 7 - 4如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有 一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D2 32 66 5 5如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在 AB 边上，且 BE1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点 (均不与顶点重合)，求四边形 AEPQ 的周长的最小值为 1四边形 ABCD 中，BD90，C70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时， AMN+ANM 的度数为（ ） A120 B130 C110 D140 2 2如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC4，M 为斜边 AB 上一动点，过点 M 作 MDAC 于点 D， 过点 M 作 MECB 于点 E，求线段 DE 的最小值 AD E P BC C AD B M N - 8 - 。