二元一次方程组难点考点易错点.docx

细心整理 DSE 金牌数学专题系列 二元一次方程组(难点、考点、易错点)一、 导入:讲个故事：“从前有个太监…………………………”    有人耐不住问：“下面呢？”    接着讲故事：“下面？没了啊……”一、学问点回忆　〔一〕二元一次方程组 1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数〔x和y〕，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.　2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.　3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.　4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.　5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.　6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.〔二〕二元一次方程组的实际应用列方程组解应用题的常见类型主要有：　１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，根本等量关系为：路程＝速度×时间；　２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.　根本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间；　3. 和差倍分问题.根本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；　4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，根本关系式为：　顺流〔风〕：航速＝静水〔无风〕中的速度＋水〔风〕速　逆流〔风〕：航速＝静水〔无风〕中的速度－水〔风〕速　5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.二、 专题讲解 专题一 错题分析　【误会】A或D．　【思索及分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．　验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．　【正解】C．　　把式③代入式②得 8-3y+3y=8，0×y=0.所以y可以为任何值.所以原方程组有多数组解．　【正解】由式②得x=8-3y　　　③　把式③代入式①得2〔8-3y〕+5y=-21，　解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，解得x=-103. 所以【例3】 解方程组　【错解】 方程①- ② 得： －3y=0，所以y=0，把 y=0，代入 ②得x=－2，所以原方程组的解为　【分析】 在①- ②时出错.　【正解】 ①- ②得：〔x－2y〕－〔x－y〕＝2－〔－2〕　　　　　　　　　 x－2y－x＋y＝4　　　　　　　　　　　　 －y=4 y=－4　把y=－4代入②得x=－6，所以原方程组的解为　【小结】 两方程相减时 ，易出现符号错误，所以要特别细心.　【例4】 某扮装晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都望见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都望见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？　错解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.　依据题意，得 　把①代入②，得x=〔2x-1〕，解得x=3.把x=3代入②，得y=5.　所以答:晚会上男生3人，女生5人.　【分析】 此题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都望见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中全部的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.　正解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.　依据题意，得　把③代入④,得　x=［2〔x-1〕－1－1］，　解得x=12.　把x=12代入④，得y=21.　所以　答：晚会上男生12人，女生21人.解二元一次方程组的问题看似简洁，但假如你稍不留意，就有可能犯如下错误.　【例5】 解方程组 　【错解】 方程①＋ ② 得： 2x=4，　原方程组的解是： x=2　【错因分析】 错解只求出了一个未知数 x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.　【正解】 〔接上〕将 x=2带入②得： y=0.所以原方程组的解为　【小结】 用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.　【例6】解方程组　　【错解】由式①得y=2x-19     ③　把式③代入式②得2〔2x－19－　　【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时，符号书写出现了错误．当解比拟困难的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的随意一个方程中，求出其次个未知数，这样使得运算便利，幸免出现错误．　【正解一】化简原方程组得 　　【正解二】化简原方程组得　①×6+②得 17x=114，　　【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的确定值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比拟便利；当两个方程中某一未知数的系数的确定值相等或成整数倍时，用加减法比拟便利．专题二 思维点拨【例1】 小红到邮局寄挂号信，须要邮资３元８角. 小红有票额为６角和８角的邮票假设干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【思索及解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.　寄信需邮资３元８角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元. 再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额. 所需６角邮票的总票额等于单位票额６角及所需６角邮票数目的乘积. 同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角及所需８角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的全部数量关系.　其次步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.　由图可知最主要的数量关系是：　所需邮资=所需邮票的总票额.　第三步要在构建等式的根底上找出这个数量关系中牵涉到哪些确定量和未知量.　确定量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目.　第四步是设元〔即设未知量〕，并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：　0.6x+0.8y=3.8. 　第五步是解方程，求得未知量. 由于两种邮票的数目都必需是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是　第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.　第七步是答，须要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或须要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.【例2】小聪全家外出旅游，估计须要胶卷底片１２０张. 商店里有两种型号的胶卷：　Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片. 小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片. 求两种胶卷的数量.【思索及解】第一步：　找数量关系. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数. Ａ型胶卷的底片总数=每卷Ａ型胶卷所含底片数×Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷的底片总数＝每卷Ｂ型胶卷所含底片数×Ｂ型胶卷数.　其次步：　找出最主要的数量关系，构建等式. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.　第三步：　找出未知量和确定量. 确定量是：　胶卷总数，度片总数，每卷Ａ型胶卷所含底片数，每卷Ｂ型胶卷所含底片数；未知量是：　Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷数.　第四步：　设元，列方程组. 设Ａ型胶卷数为x，Ｂ型胶卷数为y，依据题中数量关系可列出方程组：　　　第五步：答：Ａ型胶卷数为3，Ｂ型胶卷数为1.【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.　【例３】　用加减法解方程组　　【思索及分析】　经视察，我们发觉两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y.　解：　①＋②，得　４x=8.　解得　x=2.　把x=2代入①，得　2+2y=3.　解得　y=.　所以，原方程组的解为：　　【思索及分析】　经视察，我们发觉x的系数成倍数关系，故先将方程①×2再及方程②作差消去x较好.　解：　①×２，得　4x-6y=16.   ③　②－③，得　11y=-22.　解得　　y=-2.　把y=-2代入①，得　２x-3×〔-2〕＝８. 解得 x=1.　所以原方程组的解为　　【思索及分析】 假如用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比拟简洁的方程进展变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.此题中，方程②的系数比拟简洁，应当将方程②进展变形.　假如用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度启程，选择应当消去的未知数.通过视察发觉，消去x比拟简洁.只要将方程②两边乘以2 ，然后将两方程相减即可消去x.　　解法1： 由②得x=8-2y.③ 　把③代入①得　2〔8-2y〕+5y=21，解得y=5.　把y=5代入③得x=-2.　所以原方程组的解为：　　解法2： ②×2得2x+4y=16. ③ 　①-③得2x+5y-〔2x+4y〕=21-16，解得y=5.　把y=5代入②得x=-2.　所以原方程组的解为　【小结】 我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题，原那么上要以计算简便为依据.　【例6】　用代入法解方程组　　【思索及分析】　经视察，我们发觉方程①为用y表示x的形式，故将①代入②，消去x.　解：　把①代入②，得　３〔y+3〕-8y=14.　解得　y=-1.　把y=-1代入①，得x=2.　所以原方程组的解为　【例7】　用代入法解方程组　【思索及分析】　经视察比拟，我们发觉方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，应选择①变形，消去y.　解：　由①，得　y=2x-5.    ③　把③代入②，得３x+4〔2x-5〕=2.解得　x=2.　把x=2代入③，得　y=-1.　所以原方程组的解为：　【例8】 甲、乙两厂，上月原准备共生产机床90台，结果甲厂完成了准备的112％，乙厂完成了准备的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？　【思索及分析】 我们可以接受两种方法设未知数，即干脆设法和间接设法.干脆设法就是题目要求什么就设什么为未知数，此题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是接受先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要　求的未知数，题中我们可设上月甲厂原准备生产x台，乙厂原准备生产y台.　解法一：干脆设法.　设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，那么共超额了100－90＝10〔台〕，而甲厂准备生产的台数是台，乙厂准备生产的台数是台.　依据题意，得 　　答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额。