二章34节appt课件.ppt

§2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数X012P0.10.60.3)aX(P )x(F)xX(P= = §2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念. 定义定义 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，，事件事件{X x}的概率的概率P{X x}称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数记为F(x)，，即即 F(x)＝＝P {X x}. 对于任意的实数对于任意的实数a,b a  b.F(a)＝＝P {X a}F(b)＝＝P {X b}F(b)-F(a)＝＝P { }a

故该三个性质是随机变量的分布函数故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质解解 X012P0.1 0.6 0.3试求出试求出X的分布函数的分布函数例例2 向向[0,1]区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐标表示质点坐标.假定假定质点落在质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区区间内任一子区间内的概率与区间长成正比间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数.当当x<0时时,F(x)=0;当当x>1时时,F(x)=1当当0≤x≤1时时,特别,F(1)=P{0≤X≤1}=k=1解：解： F(x)=P{X≤x}解：例例3、一个靶子是半径为、一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以击都能中靶，以 表示弹着点与圆心的距离试求表示弹着点与圆心的距离试求随机变量随机变量 的分布函数的分布函数 1. 定义定义 对于随机变量对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，，若存在若存在非负函数非负函数f(x)，，(- 

于是于是注注:事件事件{X=a}并非不可能事件，但是在并非不可能事件，但是在X是连续型随机变量时，是连续型随机变量时， P{X=a}=0 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．此此公式非常重要！公式非常重要！解：解：P{ {X (0.5,1.5)}(0.5,1.5)}例例2 2 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为解：解： ⑴⑴ 由密度函数的性质由密度函数的性质例例 3某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（（单位：小时）是以单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元个同类型的元件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解： 设设 A={ 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换}例例 3（续）（续）检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重Bernoulli试验．试验．设设 Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元件数，件数， 故所求概率为故所求概率为二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1. 均匀分布均匀分布 若X～f(x)＝ 则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。

记作均匀分布记作 X~U(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (a0>0的的指数分布指数分布其分布函数为其分布函数为特点：指数分布的无记忆性特点：指数分布的无记忆性对任意的对任意的s , t >0.有有P{P{X> >s+ +t| |X> >s}=P{}=P{X> >t} }证明：左边证明：左边=P{X>=P{X>s+ +t| |X> >s} }= =P{({(X> >s+ +t)()(X>s)}/P{>s)}/P{X>s}>s}= =P{X>{X>s+ +t}/P{}/P{X> >s} }=1-=1-F( (s+ +t)/1-)/1-F( (s) )=1-=1-F( (t)=P{)=P{X> >t} }例例 6例例6（续）（续）令：令：B={ 等待时间为等待时间为10~20分钟分钟 }解解: :解:当t ≤0时，当t >0时，=1- {=1- {在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥} }于是3. 正态分布正态分布ABA A，，B B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值为X X。

X X的概率密的概率密度应该是什么形态？度应该是什么形态？测量值测量值X X是一个随即变量，在真实值是一个随即变量，在真实值 的周围随机取值的周围随机取值 其中其中  为实数，为实数，  >0 ，则称，则称r. v.X服从参数为服从参数为  , 的的正态分布正态分布,记为记为N( ,  2)，，可表为可表为X～～N( ,  2).定义定义：若连续型随机变量若连续型随机变量++< << <--= =- -- -xexfXx,21)(~222)(s sm ms sp p (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于密度曲线关于 直线直线x= 对称对称；.正态分布的特性正态分布的特性：f()＝maxf(x)++< << < - -= =- -- -xexfXx,21)(~222)(s sm ms sp p（（3 3）在）在 处曲线有拐点处曲线有拐点曲线以曲线以o ox x轴为渐近线轴为渐近线4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 ＝＝0，， 2＝＝1的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作X~N(0, 1)。

分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅布表供读者查阅 (x)的值 若若Z~N（（0，，1））, （（0.5)=0.6915, P{1.323}{|X|>3}的值的值. . 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值±3±3 作作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报外时发出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. .（（4）上）上 分位点分位点r.v.X~N(0,1).若 满足P{X> }= (0< <1) ,则称点 为标准正态分布的上 分位点。

性质性质：正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：情形加以说明：⑴⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．多分布所不具备的．⑶⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．正态分布可以作为许多分布的近似分布．正态分步的重要性：正态分步的重要性：例例9 9：一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态：一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ分布Ｎ(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的元件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时小时内无一元件损坏的概率内无一元件损坏的概率. .解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,故则Y~B(3,p)其中例例 1010例例11 离散型离散型 连续型连续型 定理及其应用定理及其应用§5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布随机变量的函数随机变量的函数设设X是是一个离散型随机变量，分布律为一个离散型随机变量，分布律为 X～～P{X＝＝xk}＝＝pk, k＝＝1, 2, …若若y＝＝g(x)是一单值实函数，则是一单值实函数，则Y＝＝g(X)也是一个随机也是一个随机变量。

求变量求Y的的分布律分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 或或 Y＝＝g(X)～～P{Y＝＝g(xk)}＝＝pk ，， k＝＝1, 2, … （（其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并有相同的，其对应概率合并一般地一般地XPkY=g(X) 设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律，试求具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 的所有可能取值为的所有可能取值为 且且 Y=0 对应于对应于 ( X-1)2=0，， 解得解得 X=1，， 例例 1 10，，1，，4. 所以所以, P{Y=0} =P{X=1}=0.1,同理同理,P{Y=1}P{Y=4}pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，所以，Y=(X-1)2 的分布律为：的分布律为：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,= P{X= -1}= 0.2,二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法 若若X~f(X~f(x), -), - < < x< +< + , Y=g(X), Y=g(X)为随机变量为随机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY (y) ＝＝P{Y y}＝＝P {g(X)  y}＝＝ 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“ 分布函数法分布函数法”（（1）当）当y<0时时（（3）当）当0≤y<1时时（（2）当）当y≥1时时解：解：设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度：概率密度：试求试求 Y=X-4 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y =X-4 的分布函数的分布函数 FY(y)：：例例 4 4例例 4 4（续）（续） 整理得整理得 Y=X-4 的概率密度为的概率密度为：：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度概率密度求求 Y = |X| 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y = |X| 的分布函数的分布函数 FY(y)：：例例 5例例 5 5（续）（续） 定理定理 设随机变量设随机变量 X 的概率密度在的概率密度在则则 Y =g(X ) 是是一个连续型随机变量一个连续型随机变量 ，，其概率密度为其概率密度为其它区间为零其它区间为零证明：证明：Y=g(X)在在 内取值。

内取值证明：证明：Y=g(X)在在 内取值的概率密度的概率密度关于关于x严单严单,反函数为反函数为故故例例7 7 设设X~U(0,1),X~U(0,1),求求Y=Y=aX+ +b的概率密度的概率密度.(.(a≠0)≠0)解解: Y=Y=aX+X+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为故故而而故故例例8解：解：例例8`解：解：证证: X 的概率密度为的概率密度为例例 9 9由定理的结论得：由定理的结论得：小结.习题课习题课一、填空：一、填空：1.设随机变量设随机变量X服从服从参数为（参数为（2,p））的二项分布，的二项分布，随机变量随机变量Y服从参数（服从参数（3,p））的二项分布，若的二项分布，若 ，， 则则P{Y≥≥1}=2.设随机变量设随机变量X服从（服从（0，，2）上的均匀分布，则）上的均匀分布，则随机变量随机变量Y=X2在（在（0，，4）内的密度函数为）内的密度函数为fY(y)= 3.设随机变量设随机变量X~N（（2，，σσ2 2），且），且P（（2