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洛伦兹方程,1,第二章 分岔与奇怪吸引子,洛伦兹方程,2,第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程,1.流体中的不稳定性 2.洛伦兹方程解的分岔,洛伦兹方程,3,1900年，法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验,1.流体中的不稳定性,在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案这是现代用硅油做实验拍摄的照片照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉，在二者之间较明亮的环状区域里液块作水平运动 当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生,洛伦兹方程,4,贝耐特对流实验,理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程,1.流体中的不稳定性,洛伦兹方程,5,瑞利数,1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。

认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动由此定义了一个无量纲参数R (瑞利数) ： g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数,瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值RC，当R 超过RC时，流体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性临界值RC为： 其中k是 x 方向环流波数,1.流体中的不稳定性,洛伦兹方程,6,倍周期分岔的实验检验,从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种分岔现象带着这样观点利布沙伯(Libchaber-低温物理学家)于1980年用液氦重做了贝耐特对流实验 实验装置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其长度、宽度与高度分别为3mm、1.5mm与1.25mm用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度,容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流对流发生时液氦在中心升起，往分流沿腔壁下降形成两个对流圈对流引起温度变化，从温度计输出信号变化中分析出对流产生过程与变化规律,1.流体中的不稳定性,洛伦兹方程,7,由于检测到的信号受噪声干扰很大，很难从中分析出有用的信息。

利布沙伯便随时间变化信号进行傅立叶变换，再从频谱图来分析液氦对流信息 开始时功率谱中只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现 f/4、f/8等次谐波实验结果显然是倍周期分岔现象,倍周期分岔的实验检验,1.流体中的不稳定性,洛伦兹方程,8,倍周期分岔普遍性,实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现受利布沙伯成功检测到倍周期分岔的启发，许多学者在不同类型的动力系统中去寻找倍周期分岔现象 倍周期分岔现象在 LCR 振荡、激光振荡、化学反应等许多过程中都相继得到了证实，说明了倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象,1.流体中的不稳定性,洛伦兹方程,9,洛伦兹的设想,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,10,洛伦兹的设想,60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,11,洛伦兹方程,洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程,x -对流的翻动速率， y -比例于上流与下流液体之间的温差， z-是垂直方向的温度梯度， s -无量纲因子, ,称为 Prandtl 数; b-速度阻尼常数： ; r -相对瑞利数 r = R/RC,2.洛伦兹方程,其中xz与 xy 是非线性项，求导对无量纲时间 t 进行的,洛伦兹方程,12,洛伦兹方程的耗散性质,证明： 在x,y,z的三维相空间，取一个闭合曲面。

曲面所包围的体积V 随时间的变化与其中代表点的运动有如下关系： 应用于洛伦兹方程，得： 于是有： 为初始相空间的体积参数 与 ，可见洛伦兹方程的相空间体积是随时间收缩的初始时的有限相体积 随时间收缩到一点，这点应是坐标的原点 耗散系统意味着系统存在吸引子,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,13,洛伦兹方程解的分岔,即洛伦兹方程有三个平衡点 若 ，只存在一个平衡点 此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点变为不平衡状态,洛伦兹方程,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,14,原点的稳定性,r 1 时坐标原点 是稳定的不动点，它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨线吸引到坐标的原点,如 r 1 ，于是分支出两个新的平衡点 C1与 C2 说明在 r = 1 时系统将发生一次分岔，跨越 r = 1 意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出现了局部的不稳定性 这时在坐标原点出现一维不稳定的流形这是一次叉式分岔相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,15,C1与 C2的稳定性,稳定性证明：洛伦兹方程可写成行列式： 对原点 x = y = z = 0 附近作线性化处理，即在原点附近有： 特征方程： 其解： 在 0 r 1 范围内，所有根 l0 ，坐标原点是稳定的,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,16,C1与 C2的稳定性,当 r 1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点，如图所示。

C1、C2 坐标为： 现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,17,C1与 C2的稳定性,稳定性证明： 对C1与 C2 附近作线性化处理，即在附近有： 式中： 特征方程 有一实根和一对共轭复根，其中实根 说明坐标原点为鞍点共轭复根的实部为负，说明两个新平衡点与是稳定的焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点与稳定焦点的出现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,18,当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺旋线外径会接触合并一起当特征方程 的第2与第3项之积等于常数项时共轭复根的实部为零，成为纯虚数， 有,时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆 时共轭复根的实部为正值，与成了不稳定的焦点定态对流失稳，是不稳定的这时将出现一次新分岔霍夫分岔，平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子,2.洛伦兹方程,C1与 C2的稳定性,洛伦兹方程,19,时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆 时，这时将出现一次霍夫分岔，平衡点C1与C2发展成奇怪吸引子,洛伦兹吸引子,洛伦兹方程,20,第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子,1. 李雅普诺夫指数 2. 埃侬映射与埃侬吸引子 3. 洛伦兹吸引子 4. 巴克尔变换与罗斯勒吸引子,洛伦兹方程,21,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。

这是一个动力系统在t 时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关这类吸引子也称平庸吸引子 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌,洛伦兹方程,22,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,洛伦兹方程,23,考察平方映射的两个迭代运算,取m = 4，并取有一点微小的差别的两个初始值 x0 =0.370 与 y0=0.380运算结果如表所列，经过前第四次迭代,两个运算结果还没有显出太大差别，但是从第五次开始迭代结果的差别就非常显著了,奇怪吸引子,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,24,奇怪吸引子,取m =2.1，并取有较大差别的三个初始值 x01 =0.08，x02=0.12, x03=0.16运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算结果趋于一致，045. 取m =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05运算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,25,两个系统： 设其初始值微小误差 ，经过一次迭代以后有： 式中： 由第二次迭代得： 经过第 n 次迭代得： 为多重乘号,李雅普诺夫指数公式,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,26,可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 决定，它与初始值 x0 有关。

映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代： 两个系统如初始存在微小误差，随时间(或迭代)产生分离，分离程度常用李雅普诺夫(Lyapunov)指数来度量,它为几何平均值的对数： 式中xn为第 n 次迭代值取 ，得李雅普诺夫指数计算公式,李雅普诺夫指数公式,每次迭代平均分离值为,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,27,利用李雅普诺夫指数l ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离： 在一维映射中l 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 li ，而且沿相空间的不同方向，其 li (i=1,2,)值一般也不同,李雅普诺夫指数应用,设 为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点的距离为： 式中指数 li 值可正可负 表示沿该方向扩展， 表示沿该方向收缩在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,28,稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的系统只要有一个正值的就可出现混沌运动 判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值,吸引子与李雅普诺夫指数,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,29,吸引子与李雅普诺夫指数,吸引子可存在于高维相空间内。

在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌推广到高维空间后，由指数 的值决定的各种类型的吸引子归纳如下,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,30,平方映射的 l 指数,利用计算程序可以方便地求得一维映射的 分析：由图可见平方映射的指数随参数值变化起伏很大，有一个临界值, 当 时指数变化但始终处于负值当 指数开始转为正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态 1.00 m 3.00 周期1轨道(不动点) 3.00 m 3.4495 周期2轨道 3.4495 m 3.5541 周期4轨道 3.5541 m 3.5644 周期8轨道 3.5644 m 3.5688 周期16轨道,1.李雅普诺夫指数,洛伦兹方程,31,2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子,埃侬映射,埃侬映射是一个二维映射这是天文学家埃侬(M.Henon)首先计算的离散型映射,它有两个控制参数 m 和 b： 埃侬映射所描述的体系随参数 b 的取值不同而不同： 当b = 1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统； 当b 1，系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系统。

当b = 0时退化为一维映射： 当xn与xn+1的取值0，1时，则参数 m 的取值0，2这个一维映射与平方映射有相同的复杂动力学性质,洛伦兹方程,32,2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子,埃侬映射,在数学上，为了解释埃侬吸引子的图形通常取 b =1埃侬映射，并。