专题 内切球、外接球、构造球讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

专题 内切球，外接球，构造球【题型1】几何体的内切球常考模型（正四面体，等体积法，圆台，双球内切）一、正四面体常用二级结论在棱长为a的正四面体中结论1：高，结论2：外切球半径，结论3：内切球半径，结论4：体积二、正棱锥的内切球如图，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径：（截面法）第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；第二步：求，，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出三、等体积法（通法） （↑与棱相切呢？）若三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为，建立等式：第三步：解出1． 已知一半径为2和一半径为1的两球上下放在一个圆锥内部，则该圆锥表面积的最小值为（    ）A． B． C． D．为小球与大球的切点，且．易知，且相似比为，，所以，．因为，，都与圆相切，所以．．易知，且相似比为，所以，．所以圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的表面积为．故选：D．【巩固练习】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【详解】  如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接.则由已知可得，平面，球心段上，球切平面的切点段上，分别设为.则易知，，设球的半径分别为.因为，根据重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的体积为.【题型2】五类外接球常考题型一．求空间多面体的外接球半径的常用方法：① 补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解。

能补充长方体的有：墙角结构，3组对棱相等，3条棱两两垂直② 利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球的直径；③ 定义法：( 确定球心位置法)到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可二．求空间多面体的外接球半径的常考模型类型一、补成长方体（1）墙角模型长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出（2）对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）列方程组，，第三步：根据墙角模型，，，类型二、有一条侧棱垂直底面垂面题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②.类型三、正棱锥，圆锥模型（方法一）勾股定理：，解出方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.类型四、两直角三角形斜边拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型取公共的斜边的中点，连接，则为三棱锥外心 类型五、折叠模型（二面角模型）-由2个外心加“中垂线”确定球心第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：注：易知四点共面且四点共圆（线面垂直，相交于点E，四点共面；四边形对角互补，四点共圆）【巩固练习】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .【答案】【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积.【详解】将沿折起后，取中点为，连接，，则，，所以即为二面角的平面角，所以；设，则,在中，即 解得，即，所以 所以与是边长为的等边三角形.分别记三角形与的重心为、，则，；即；因为与都是边长为的等边三角形，所以点是的外心，点是的外心；记该几何体的外接球球心为，连接，，根据球的性质，可得平面，平面，所以与都是直角三角形，且为公共边，所以与全等，因此，所以；因为，，，且平面，平面，所以平面；又平面，所以，连接，则外接球半径为，所以外接球表面积为.【题型3】圆弧形轨迹（构造球）（1）线面角为定值可以构造球的截面（2）空间中的直角可以构造球（3）线段为定长可以构造球（4） 到两个定点距离之比为定值可以构造球（参考阿氏圆）1.如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为________.【答案】【分析】以AE为直径作球N，A,E与球上任意一点均能构成直角，故M点轨迹为球N与平面的交线.【详解】记球心N在平面上的投影为K，故即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧，到的距离为，弧上的点到的距离最小值为 【巩固练习】如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，若，存在唯一的点P满足，则________.【答案】4【详解】以AM为直径构造球，A,M与球上任意一点均能构成直角，故球与平面EFGH相切时存在唯一P点，即半径，设，则有,由勾股定理可得：，故【典例10-2】（2024·全国·三模）已知三棱锥的体积为，其外接球的体积为，若，，则线段SA的长度的最小值为（    ）A．8 B． C．6 D．【解析】如图，是所在截面圆圆心,是球心，平面，平面，为垂足，连接，则，，则，，，则，，，，由得，由球体积得，，即，，在直角梯形中，，即在以为圆心，3为半径的圆上，，所以．故选：B． 9 / 9学科网（北京）股份有限公司。