调和点列性质.doc

调和点列研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支射影几何学产 生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究在17世纪, G.德扎格和B帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理后来在19世 纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、 A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛 的时期定义：直线上依次四点A、E、C、D满足篡=冀，则称A、E、C、P BC DC四点构成调和点列其中A. C和B、D称为调和共辄性质1：如图，A为圆()外一点，AB. AC为圆O的切线，ADEF截圆O与F，交BC与点E则As D、E. F四点调和 于D、F,交EC与E则A. D、E. F成调和点列①AFFE证明:A、D、E、F四点调和0竺=兰 o" '兀 DE FE证明：暂略性质2：7A、3、C、°调和O//AC证明:工 1 1 2 1 1 2 b c向 1 = — o —i = o = AB AD AC a a+b+c a + b a(a+b) (a+ b)(a+b + c)b c a a+b+co _ = o —= a a+b+c b c即证推论：巳知A、B、C、D四点调和，O为*、C中点，则OA2 = OB OD.反过来也成立，若A. B、C、H四点共线，()为A、C中点，且OA2 =OB OD ,则A、B、C> D四点调和。

性质3：著A、E、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AM丄MC则必有MC平分ZBMD, MA外角平分AMD.这是调和点列应用中相当重要的一个性质证明：反证法反设MC不平分ZBMD,作MC'平分角交ED与C‘ , MA，外角平分角交DE延长线与f ,则MC■丄M/T由内角平分线定理,有外角平分线定理,BC' _BM~c7d~~mdBA1 BM所以BA'BC、OD由A、E、C、D成调和点列知与=芈CD AD注意到BC‘ BC BC‘ > ——o >C'D CD BDBC~BD成立BA・775V岂o型V岂AD BD BD所以型v型二竺V竺BD BD BD BD与②矛盾!所以MC平分ZBMD, MA外角平分ZBMQ 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合!。