GM模型适用范围.docx

6.5 GM(1,1)模型的适用范围邓聚龙教授对GM(1,1)模型作了十分深入的研究,得到了 GM(1,1)模型的多种不同形式 主要有：(1) x(0)(k) + ax(1)(k)二 b(2) x(0) (k) + az(1)(k)二 b3)4)dx(1)+ ax (1) = bdtx (1) (k +1) = (x (0) (1) - - )e -ak + b< a ax (0) (k +1) = x (1) (k +1) — x (1) (k)(5) x(0)(k) = p -Ox⑴(k — 1)， k = 2,3,…,n ；b1 + 0.5aa1 + 0.5a6)x (0) (2) = p —Ox (0) (1)x (0) (k) = (1—a) x (0) (k — 1)； k = 3,4 …nx (0) (2) = P — ax (0) (1)7)1 — 0.5a1 + 0.5ax (0) (k — 1); k = 3,4 …nx (0) (2) = p —ax (0) (1)8)x(1)(k —1) —0.5bx (0) (k) = x (0) (k 一 1); k = 3,4 …nx ⑴(k — 2) + 0.5b9)x (0) (k)=/1 — 0.5a、1 + 0.5a;k = 2,3,…,n 丿10 )x (0) (k)=x (0)(3) ek Ind-a)，(1 — a ) 3k>311) x (0) (k) = (P —ax (0) (1))e —a(k—2)12)13 )x (0) (k) = (1 — )(x (0) (1)——) e-«(k-1)abx (0) (k) = (—a)(x (0) (1) — ) e-a (k-1)a命题 6.5.1 当(n — 1)工[z(])(k)]2 T [工z⑴(k)]2 时，GM(1,1)模型无意义。

k =2 k =2证明 采用最小二乘法估计模型参数,有工 z⑴(k)工 x(0) (k) 一 (n 一 1)工 z⑴(k)x(0) (k)Aa — k 三2 k=2 k=2 (n一 1)丫[z⑴(k)]2 一[Xz⑴(k)]2k—2 k—2X x(0)(k)X[z(1)(k)]2 一 X z(1)(k)X z(1)(k)x(0)(k)— k —2 k—2 k—2 k—2 (n一 1)丫[z⑴(k)]2 一[Xz(1)(k)]2k—2 k—2当(n 一 1)X[z(i)(k)]2 t [X z(i)(k)]2 时，a fg,b fg，无法确定模型参数，故此k —2 k —2GM(1,1)模型无意义命题6.5.2当GM(1,1)发展系数I a I>2时，GM(1,1)模型无意义证明由GM(1,1)表达式x(0)(k)丿1 - % 'b - ax(o)(1)1 + 0.5a 丿1 + 0.5a 丿;k = 2,3, , n可知，1° 当 a = 一2 时，x(o)(k) fg ；2° 当 a — 2 时， x(0) (k) — 0；b 一 ax (0)(1) (1 - 0.5a )k-23° 当I a |>2时， 一为常数，而—―― 随着k的奇偶性不同而改变符1 + 0.5a 11 + 0.5a 丿号，因此x(0) (k)随着k的奇偶性不同而变号。

由以上讨论可知(—g,—2]u[2, g)是GM(1,1)发展系数—a的禁区当a g (—g,—2]u[2,g)时，GM(1,1)模型失去意义一般地，当I a |<2时，GM(1,1)模型有意义但随着a的不同取值，预测效果也不同 对于一2< a <0，即发展系数0 < — a < 2的情形，我们分别取 -a =0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.5,1.8 等进行模拟分析取 k=0,1,2,3,4,5，由x(0)(k +1) — e-ak可得如下数列：i— a=0.1, X (0) — (x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5),x(0)(6))1 1 1 1 1 1 1=(1,1.1051,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487)— a=0.2， X 2(0) =(1,1.2214,1.4918,1.8221,2.2255,2.7183)— a=0.3, X3(0) =(1,1.3499,1.8221,2.4596,3.3201,4.4817)－a=0.4, X (0)=(1,1.4918,2.225,3.3201,4.9530,7.3890)4－a=0.5, X5(0) =(1,1.6487,2.7183,4.4817,7.3890,12.1825)－a=0.6, X (0)=(1,1.8821,3.3201,6.0496,11.0232,20.0855)6－a=0.8, X (0)=(1,2.2255,4.9530,11.0232,24.5325,54.5982)7－a=1, X (0) =(1,2.7183,7.3890,20.0855,54.5982,148.4132)8－a=1.5, X9(0) =(1,4.4817,20.0855,90.0171,403.4288,1808.0424)－a=1.8, X1(00) =(1,6.0496,36.5982,221.4064,1339.4308,8103.0839)分别以X (O), X (0),…，X(0)为原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的时间响应式:2 2 2X⑴(k +1)二 10.50754e0.09992182k -9.5075411X⑴(k +1)二 5.516431e0.1993401k -4.5164312X⑴(k +1)二 3.85832e0.297769k - 2.8583213X⑴(k +1)二 3.033199e0.394752k -2.0331994X⑴(k +1)二 2.541474e0.4898382k -1.5414745X⑴(k + 1)二 2.216363e0.5826263k -1.2163626X⑴(k +1)二 1.815972e0.7598991k -0.81597187X(1) (k +1)二 1.581973e0.9242348k -0.58197338X⑴(k +1)二 1.287182e1.270298k -0.28718239X(1) (k +1)二 0.198197ei.432596k -0.198196610由 X (0) (k +1)二 X(1)(k +1) — X⑴(k)， i = 1,2, ,10，得i i iX(0) (k +1) = 0.99918e0.09992182k， X(0)(k +1) = 0.99698e0.1993401k，12X(0) (k +1) = 0.99362e0.297769k， X(0)(k +1) = 0.989287e0.394752k，34X(0) (k +1) = 0.984248e0.4898382k， X(0)(k +1) = 0.97868e0.5826263k， 56x(o)(k +1)二 0.966617e0.7598991k, X(0)(k +1)二 0.95419e0.9242348k,78x(0) (k +1)二 0.925808ei.270298k， x(0)(k +1)二 0.91220ei.432596k9 101由于 GM(1,1)模型 x(o)(k) + az⑴(k)二 b 中 z⑴(k)二-(x⑴(k) + x⑴(k -1))为均值生2成，对于增长序列，具有弱化其增长趋势的作用。

指数序列建立GM(1,1)发展系数减小比较原始序列X (0)与模拟序列X (0)的误差(见表6.5.1 )ii表 6.5.1 模拟误差发展系数一a-艺[免0)伙)-x(0)(k)]i=2平均相对误差丄为A5 k0.10.0040.104%0.20.0100.499%0.30.0381.300%0.40.1162.613%0.50.3074.520%0.60.7417.074%0.83.60314.156%114.80723.544%1.5317.86751.033%1.81632.24065.454%可以看出，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加当发展系数小于或等于0.3 时，模拟精度可以达到98%以上，发展系数小于或等于0.5时，模拟精度可以达到95%以上，发 展系数大于1，模拟精度低于70%，发展系数大于1.5，模拟精度低于50%进一步考察1步， 2步， 5步， 10步预测误差(见表6.5.2)表 6.5.2 预测误差―a0.10.20.30.40.50.60.81 1.51.81步误差0.129%0.701%1.998%4.317%7.988%13.405%31.595%65.117% —一2步误差0.137%0.768%2.226%4.865%9.091%15.392%36.979%78.113% —一5步误差0.160%0.967%2.912%6.529%12.468%21.566%54.491%一 一一10步误差0.855%1.301%4.067%9.362%18.330%32.599%88.790%一 一一可以看出，当发展系数小于0.3时， 1步预测精度在98%以上， 2步和5步预测精度都在 97%以上；当0.3v— a <0.5时，1步和2步预测精度皆在90%以上，10步预测精度亦高于 80%；当发展系数大于0.8时， 1步预测精度已低于70%。

表7.5.2中的横线表示误差已大于 100%通过以上分析，可得下述结论：(1) 当一a <0.3时，GM(1,1)可用于中长期预测；(2) 当0.3v— a <0.5时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用；(3) 当0.5<— a <0.8时，用GM(1,1)作短期预测应十分谨慎；(4) 当0.8<— a < 1时，应采用残差修正GM(1,1)模型；(5) 当一a>1时，不宜采用GM(1,1)模型。