2022年初中数学竞赛讲解教材第二讲巧添辅助妙解竞赛题.docx

其次讲 巧添帮忙 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中 , 神奇添置帮忙圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 , 通过圆的有关性质找到解题途径 . 下面举例说明添置帮忙圆解中学数学竞赛题的如干思路 .1 挖掘隐含的帮忙圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆” , 此时如能把握问题供应的信息 , 恰当补出帮忙圆 , 并合理挖掘图形隐含的性质 , 就会使题设和结论的规律关系明朗化 .1.1 作出三角形的外接圆可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例 1 如图 1, 在△ ABC 中, AB＝AC, D 是底边 BC上一点 , E 是线段 AD 上一点且∠ BED＝ 2∠ CED＝∠ A. 求证： BD＝2CD.分析：关键是寻求∠ BED＝2∠CED 与结论的联系 . 简洁想到作∠ BED 的平分线 , 但因 BE≠ ED, 故不能直接证出 BD＝2CD. 如延长 AD 交△ ABC 的外接圆于 F, 就可得 EB＝ EF, 从而猎取 .AEB G D C F图1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载证明： 如图 1, 延长 AD 与△ ABC 的外接圆相交于点 F, 连结 CF与 BF, 就∠ BFA＝∠ BCA＝∠ ABC＝∠ AFC, 即∠ BFD＝∠ CFD.故 BF: CF＝BD: DC.又∠ BEF＝∠ BAC, ∠BFE ＝∠ BCA, 从而∠ FBE＝∠ ABC＝∠ ACB＝∠ BFE.故 EB＝EF.作∠ BEF 的平分线交 BF 于 G, 就 BG＝GF.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载因∠ GEF＝1 ∠ BEF＝∠ CEF , ∠ GFE＝∠ CFE , 故△ FEG ≌2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载△ FEC. 从而 GF＝ FC.于是, BF＝2CF. 故 BD＝ 2CD.1.2 利用四点共圆 C B例 2 凸四边形 ABCD 中, ∠ABC＝60°, ∠ BAD＝ O∠ BCD＝90°, DAB＝2, CD＝ 1, 对角线 AC，BD 交于点 O, 如图 2. A就 sin∠ AOB＝ .分析：由∠ BAD＝∠ BCD＝90°可知 A，B，C，DP图2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载四点共圆 , 欲求 sin∠AOB, 联想到托勒密定理 , 只须求出 BC，AD即可.解： 因∠ BAD＝∠ BCD ＝90° , 故 A，B，C，D 四点共圆 . 延长BA，CD 交于 P, 就∠ ADP＝∠ ABC＝60°.设 AD ＝ x, 有 AP ＝ 3 x, DP ＝ 2x. 由 割 线 定 理 得 〔2 ＋可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3 x〕 3 x＝2x〔1 ＋ 2x〕. 解得 AD＝ x＝2 3 － 2, BC＝3 .1 BP＝4－2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载由托勒密定理有BD·CA＝〔4 － 3 〕〔2 3 － 2〕 ＋2×1＝10 3 －12.又 SABCD＝ S△ ABD ＋S△BCD＝ 3 3 .2故 sin∠AOB＝ 15 6 3 .26例 3 已知：如图 3, AB＝BC＝CA＝AD, AH A⊥ CD 于 H, CP⊥BC, CP 交 AH 于 P. 求证：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载△ ABC 的面积 S＝3 AP· BD. B P4QD可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载分析：因 S△ABC＝3 BC2＝43 AC·BC, 只 CH图34可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载须证 AC·BC＝AP·BD, 转化为证△ APC∽△ BCD. 这由 A，B，C，Q 四点共圆易证 〔 Q 为 BD 与 AH 交点〕.证明： 记 BD 与 AH 交于点 Q, 就由 AC＝AD, AH⊥ CD 得∠ ACQ＝∠ ADQ.又 AB＝AD, 故∠ ADQ＝∠ ABQ.从而, ∠ABQ＝∠ ACQ. 可知 A，B，C，Q 四点共圆 .∵∠ APC＝90°＋∠ PCH＝∠ BCD, ∠CBQ＝∠ CAQ,∴△ APC∽△ BCD.∴AC·BC＝AP·BD.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载于是, S＝3 AC·BC＝43 AP·BD.4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2 构造相关的帮忙圆解题有些问题貌似与圆无关 , 但问题的题设或结论或图形供应了某些与圆的性质相像的信息 , 此时可大胆联想构造出与题目相关可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载的帮忙圆 , 将原问题转化为与圆有关的问题加以解决 .2.1 联想圆的定义构造帮忙圆A例 4 如图 4, 四边形 ABCD 中, AB∥CD, AD＝ DCB＝ DB＝ p, BC＝q. 求对角线 AC 的长.分析：由“ AD＝DC＝DB＝p”可知 A，B，C 在 C D E半径为 p 的⊙ D 上. 利用圆的性质即可找到 AC 与p，q 的关系 .解： 延长 CD 交半径为 p 的⊙ D 于 E 点, 连结 AE. 图4明显 A，B，C 在⊙ D 上.∵AB∥CD,∴BC＝AE.从而, BC＝AE＝q.在△ ACE 中, ∠ CAE＝90°, CE＝ 2p, AE＝q, 故可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载AC＝CE 2 AE 2 ＝4 p2q 2 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2.1 联想直径的性质构造帮忙圆例 5 已知抛物线 y＝－x2＋2x＋8 与 x 轴交于 B，C 两点,点 D 平分 BC. 如在 x 轴上侧的 A 点为抛物线上的动点 , 且∠ BAC 为锐角, 就 AD 的取值范畴是 .分析：由“∠ BAC 为锐角”可知点 A 在以定线段 BC 为直径的圆外, 又点 A 在 x 轴上侧 , 从而可确定动点 A 的范畴 , 进而确定 AD 的取值范畴 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解： 如图 5, 所给抛物线的顶点为 A0〔1,9〕,对称轴为 x＝ 1, 与 x 轴交于两点 B〔 －2,0〕 ，C〔4,0〕.分别以 BC，DA 为直径作⊙ D，⊙ E, 就两圆与抛物线均交于两点 P〔1 －2 2 ,1〕 ，Q〔1 ＋2 2 ,1〕.可知, 点 A 在不含端点的抛物线 PA0Q内时, ∠BAC＜ 90°. 且有 3＝DP＝DQ＜AD≤ DA0 ＝9,即 AD 的取值范畴是 3＜AD≤9.2.2 联想圆幂定理构造帮忙圆yA0 〔1,9〕EP QB D C x 〔-2,0〕 〔4,0〕图5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例 6 AD 是 Rt△ABC 斜边 BC 上的高 , ∠ B 的平行线交 AD 于 M,交 AC 于 N. 求证： AB2－AN2＝ BM· BN.分析：因 AB2－ AN2＝〔 AB＋ AN〕〔 AB－AN〕 ＝ BM·BN, 而由题设易知 AM＝AN, 联想割线定理 , 构造帮忙圆即可证得结论 .证明： 如图 6,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∵∠ 2＋∠ 3＝∠ 4＋∠ 5＝90°, E又∠ 3＝∠ 4, ∠1＝∠ 5,AN∴∠ 1＝∠ 2. 从而, AM＝ AN.2以 AM 长为半径作⊙ A, 交 AB 于 F, 交 F 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载BA 的延长线于 E. 就 AE＝AF＝AN. 由割线定理有BM·BN＝BF·BE＝〔 AB＋ AE〕〔 AB－ AF〕＝〔 AB＋ AN〕〔 AB－ AN〕＝AB2－ AN2,即 AB2 －AN2＝ BM· BN.3 5 M4B D C图6可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例 7 如图 7, ABCD 是⊙ O 的内接四边形 , 延长 AB 和 DC 相交于E, 延长 AB 和 DC 相交于 E, 延长 AD 和 BC 相交于 F, EP 和 FQ分别切⊙ O 于 P，Q. 求证： EP2＋FQ2＝ EF2.分析：因 EP 和 FQ 是⊙ O 的切线 , 由结论联想到切割线定理 , 构造帮忙圆使 EP，FQ 向 EF 转化.证明： 如图 7, 作△ BCE 的外接圆交 EF 于 G, 连 A结 CG.因∠ FDC ＝∠ ABC＝∠ CGE, 故 F，D，C， P QG 四点共圆 . O D由切割线定理 , 有 B CEF2 ＝〔 EG＋GF〕 · EF可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载＝EG· EF＋GF· EF＝EC·ED＋ FC· FB＝EC·ED＋ FC· FB＝EP2 ＋FQ2,即 EP2 ＋FQ2＝ EF2.2.4 联想托勒密定理构造帮忙圆例 8 如图 8, △ ABC 与△ A＇ B＇C＇ 的三边分别为 a，b，c 与 a＇ ，E G FAcA'b c' b'可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载b＇ ，c＇ , 且∠ B＝∠ B＇ , ∠ A＋∠ A Ba C B'a' C'可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载＇ ＝ 180°. 试证： aa＇ ＝bb＇ ＋cc＇.分析：因∠ B＝∠ B＇ , ∠A＋∠ A＇〔1〕 〔2〕图8可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载＝ 180°, 由结论联想到托勒密定理 , 构造圆内接四边形加以证明 . 证明： 作△ ABC 的外接圆 , 过 C 作 CD∥AB 交圆于 D, 连结 AD 和 BD, 如图 9 所示.∵∠ A＋∠ A＇ ＝180°＝∠ A＋∠ D,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载∠BCD＝∠ B＝∠ B＇ , A∴∠ A＇ ＝∠ D, ∠B＇ ＝∠ BCD. c bC∴△ A＇ B＇ C＇ ∽△ DCB. B a可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载有 A' B' ＝ DCB' C ' ＝ CBA'C ' , bDB D可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载即 c' ＝DCa' ＝ab' . 图9DB可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载故 DC＝ac' , DB＝a 'ab' .a '可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载又 AB∥DC, 可知 BD＝AC＝b, BC＝AD＝a. 从而, 由托勒密定理 , 得AD·BC＝AB·DC＋AC·BD,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载即 a2＝c·ac ' ＋ b· a'ab' .a '可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载故 aa＇ ＝bb＇ ＋cc。