高等数学课件D1232函数展开成幂级数讲解材料.ppt

第三节两类问题: 在收敛域内和函数求 和展 开本节内容:一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 展开函数为幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 Date高等数学课件一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件为 f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数:反例 : 设若函数的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于则对应的麦氏级数为Date高等数学课件定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式为0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件例2. 将展开成 x 的幂级数.解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件类似可推出:机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件例3. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解: 易求出 于是得级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为Date高等数学课件称为二项展开式 .说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 Date高等数学课件对应的二项展开式分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件例5. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件例6. 将展成解: 的幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件例7. 将展成 x1 的幂级数. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件当 m = 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件思考与练习1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的幂级数 ?提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件例3 附注Date高等数学课件补充题 1.将下列函数展开成 x 的幂级数解:x1 时, 此级数条件收敛,因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件2. 将在x = 0处展为幂级数.解:因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date高等数学课件。