2022年高考聚焦立体几何中的折叠与展开问题.pdf

立体几何中的折叠与展开问题湖南周友良刘飞凤一、折叠与展开中的垂直问题例 1. 将矩形 ABCD 沿对角线BD 折起来，使点 C 的新位置 C 在面 ABC 上的射影E 恰在 AB上求证：CBCA分析：欲证CBCA，只须证CB与CA所在平面DCA垂直；而要证CB平面DCA，只须证CBDC且CBAD因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了证明：由题意，CBDC，又斜线CB在平面 ABCD 上的射影是BA， BA AD，由三垂线定理，得ADBC，DDADCCB平面ADC，而AC平面ADCCBCA例 2.如图在 ABC 中， AD BC， ED=2AE ， 过 E 作 FGBC，且将 AFG沿 FG折起，使 AED=60 ，求证 :AE平面 ABC 解析： 弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系解： FGBC， AD BC AEFG AEBC 设 AE=a ，则 ED=2a 由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2 ?AE?EDcos60 =3a2 ED2=AD2+AE2 ABCDFEGA ADAE AE平面 ABC 例 3. 如图： D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边 BC的两个三等分点，沿AD和 AE将 ABD和 ACE折起，使AB和 AC重合，求证：平面ABD 平面 ABE. 解析： 过 D作 DFAB交 AB于 F，连结 EF，计算 DF、EF的长，又 DE为已知，三边长满足勾股定理，DFE 090；二、折叠与展开中的空间角问题例 4. 矩形 ABCD ，AB=3 ，BC=4 ，沿对角线BD 把ABD 折起，使点 A 在平面 BCD 上的射影A 落在 BC 上，求二面角ABC-C 的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“ 变” 与“ 不变 ” 结果在平面图形中过A 作 AEBD 交 BD 于 O、交 BC于 E，则折叠后OA、OE 与 BD 的垂直关系不变但OA 与 OE 此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直由特征可知，面AOE 与面 ABD 、面 CBD 的交线OA 与 OE 所成的角，即为所求二面角的平面角另外，A 在面 BCD 上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC 上,所以 E 点就是 A ，这样的定位给下面的定量提供了优质服务事实上，AO=AB AD/BD=3*4/5=12/5，OA =OE=BOtgcCBD ，而BO=AB2/BD=9/5, tg CBD，故 OA =27/20 在 Rt AAO 中， AA O=90所以cosAOA =A O/AO=9/16 ，tyAOA =a rccos9/16 即所求的二面arccos9/16例 5. 在矩形 ABCD 中， AB=a， AD=2b，ab，E、F 分别是AD、BC 的中点，以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，baDCFEAB当90CEB时，二面角CEFB 的平面角的余弦值等于（）A 0 B22baC22baDba解析： 由图可知CE=BE=22ba当90CEB时， CB=)(222ba。

CFB为所求平面角，由余弦定理得cos2222222)(22babbabCFB 选（C） 例 6.一张正方形的纸ABCD ，BD是对角线，过AB 、CD的中点 E、F 的线段交BD于 O，以 EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则BOD等于 ( ) A.120 B.150 C.135 D.90解析： 本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力如图，设正方形边长为a，由 O为正方形中心，则BO 22a,DO22a，连 AB ，因为 DAAE，DA BE ，故 DA面 AEB ，所以 DA AB ，故DAB为直角三角形， BD 22ABAD222BEAEAD44222aaa=26a. 又在 BOD 中，由余弦定理可得 cos BOD DOBOBDDOBO2222aaaaa22222464242222-21，所以 BOD 120评析： 本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等例 7 . 如图， ABCDEF 为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠 . (1) 求证： ADEC ，且与二面角FAD C的大小无关；(2)FC 与 FE所成的角为30时，求二面角FADC的余弦值 . 解析： (1) 正六边形ABCDEF ，在折叠前有AD EC ，设 AD与 EC交于 M ，折叠后即有AD ME ，AD MC.则 AD 平面 EMC ，无论 EMC 的大小如何，总有AD EC.(2) 利用余弦定理，有cosEMC 97三、折叠与展开中的距离与体积问题例 8.如图，矩形ABCD 中， AB 2，BC 23，以 AC为轴翻折半平面，使二平面角B ACD为 120，求： (1) 翻折后， D到平面 ABC的距离； (2)BD 和 AC所成的角 . 解析： 研究翻折问题， 通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同 . 解分别过 B、D作 AC的垂线， 垂足是 E、F， 过 F 作 FB BE ，过 B作 BB AC ，交点 B，则四边形EFB B是矩形 . ACDF ，AC BF，AC 平面 BFD，即 DFB就是二面角B AC D的平面角，亦即DFB 120. 过 D作 DO BF，垂足为 O.DO平面 DFB ， AC 平面 DFB . DO AF ，DO 平面 ABC. 在 RtADC中， CD 2，AD 23， DF3，OD DF sin60 23. (2) 在DFB 中， DB 120cos22FBDFFBDF3. 又由 (1) 可知， AC BB ， AC 平面 DFB 平面DFB . BB 平面 DFB ， DB B是直角三角形，又BB EF 2. tan DBB 23. ACBB , AC与 BD所成的角就是DBB ，即为arctan23. 说明处理翻折问题， 只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF、BE上两点 B、 D间的距离，先求出BD2EF2+DF2+BE2-2DFBE cos120 13，从而得出DBB arccos132. 例 9.正三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长均为2，M为 AA1中点， N为 BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点 N的最短距离是多少?并求之 . 解析： (1) 从侧面到N，如图 1，沿棱柱的侧棱AA1剪开， 并展开， 则 MN 22ANAM22) 12(110(2) 从底面到N点，沿棱柱的AC 、BC剪开、展开，如图2. 则 MN 120cos222ANAMANAM21312)3(122343410minMN34. 例 10. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得aBD，则三棱锥DABC的体积为A. 63aB. 123aC. 3123aD3122a解析： 取 BD 的中点为O，BD 平面 OAC，21122224AOCSaaa，则2DABCBAOCVV=3212a。