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2022年最短路径问题终稿.pdf

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  • 卖家[上传人]:科***
  • 文档编号:315634463
  • 上传时间:2022-06-21
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    • 1 最短路径问题姓名类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题:1. 一条直线 异侧两个定点 到直线上一动点 距离之和最小,确定动点的位置作法:连接两个定点,交直线于一点,交点即为所求例 1、如图,在直线l 上求一点P,使 PA +PB值最小作法:连接AB,交直线l 于点 P,点 P即为所求说明:连接A、B两点的线中,线段最短连接 AB,交直线l 于点 P,此时 PA+PB最小 =AB 2. 一条直线 同侧两个定点 到直线上一动点 距离之和最小,确定动点的位置方法:利用轴对称变换将直线 同侧两个定点转化为直线 异侧两个定点,然后根据“两点之间线段最短” ,用例 1 的方法确定动点的位置例 2、 如图,在直线l上求一点 P,使 PA +PB值最小作法:作点A 关于直线l的对称点A ;连接 A B,交直线l 于点 P,点 P即为所求说明:连接AP、AA ,点 A 和点 A关于直线l对称,直线l是 AA的垂直平分线,PA=PA ,两点之间,线段最短此时 PA+PB最小 =PA+PB=AB 类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题:1.一条直线 同侧两个定点 到 直线上一动点 距离之差最大,确定动点的位置。

      例 3、在直线l上求一点 P,使PBPA的值最大作法:连接AB,并延长交直线l于点 P,点 P 即为所求证明:在直线l上另取一点P ,连接 PA 和 P B,三角形的两边之差大于第三边,ABBPAP;而连接 AB,并延长交直线l于点 P,此时ABPBPA,ABPBPA最大此时2.一条直线 异侧两个定点 到 直线上一动点 距离之差最大,确定动点的位置方法:利用轴对称变换将直线 异侧两个定点转化为直线 同侧两个定点,然后根据“三角形的两边之差大于第三边”,用例 3 的方法确定动点的位置例 4、如图,在直线l上求一点P,使PBPA的值最大作法:作点B 关于直线l的对称点B ,连接 AB ,并延长交直线l于点 P,点 P即为所求说明:连接AP、AA ,点 A 和点 A关于直线l对称,直线l是 AA的垂直平分线PA=PA ,若在直线l上另取一点P ,连接 PA 和 P B, 三角形的两边之差大于第三边,ABBPAP此时ABPBPAPBPA最大总结:“同侧差最大,异侧和最小;位置不满足,对称后再看;三点共线找交点”类型三、 两条直线之间的区域内有一定点,两直线上各有一动点,要使连接这三点所得的三角形周长最小,确定两动点的位置。

      lABlBAlBAlAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 3 页 - - - - - - - - - 2 例 5、如图, 在直线21ll 、上分别求点M、N,使 PMN 的周长最小方法分析:利用轴对称,将定点P 分别转化到两直线所夹区域的外部去(即直线21ll 、的另一侧) ,再根据“两点之间,线段最短”,连接点 P的两个对称点,与直线21ll 、的交点即为所求作法:分别作点P关于直线21ll 、的对称点21PP 、; 即为所求点于,交于,交连接NMNlMlPP2121说明:连接MP、NP,点 P和点 P1关于直线1l对称,直线1l是 PP1的垂直平分线,MP=MP1,点 P和点 P2关于直线2l对称,直线2l是 PP2的垂直平分线,NP=NP2 ,两点之间,线段最短,此时PM+MN+PN 最小 =MP1+MN+NP2=P1P2 类型四、两条直线的之间有两个定点,两直线上各有一动点,要使连接这四点所得的四边形周长最小,确定两动点的位置例 1、在直线1l、2l上分别求点M、N,使四边形PQMN 周长最小 .方法分析:利用轴对称,将两个定点P、Q 分别转化到两直线所夹区域的外部去(即直线21ll 、的另一侧) ,一侧一个点,再根据“两点之间,线段最短”,连接点 P、 Q 的对称点,与直线21ll 、的交点即为所求。

      作法:作点Q 关于直线1l的对称点1Q; 作点 P关于直线2l的对称点1P;即为所求点于,交于,交连接NMMlNlQP2111说明:连接MP、NQ,点 P和点 P1关于直线2l对称,直线2l是 PP1的垂直平分线,MP=MP1,点 Q 和点 Q1关于直线1l对称,直线1l是 1的垂直平分线,NQ=NQ1,两点之间,线段最短,此时PM+MN+PN 最小 =MP1+MN+NQ1=P1Q1例 2、如图,牧童星期天从A 处赶了几只羊到草地m放羊,然后赶到小河n饮水,之后再回到B 处的家,假设牧童赶羊走的都是直路,请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置l1l2Pl1l2PQ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 3 页 - - - - - - - - - 3 类型五、架桥修路距离最短的问题1、两条平行线nm、之间的距离为d,直线nm、外有异侧两定点A、B,在nm、上分别有两个动点M、N,且mMN,要使 AM+MN+BN 的值最小,试确定动点M、N 的位置作法:从点 A向下作 AA m 且 AA =d(即:将点A 向下平移d 个单位长度至点A )连接 A B,交直线n 于点 N,作 NMm 于 M,M、N 即为所求。

      说明:连接AM、BN,此时, AA 平行且等于MN ,四边形AA NM 是平行四边形,AM=A N,mMN,且AM+MN+BN 最小 =A B+MN例 1、如图,从A 地到 B 地经过一条小河(两岸平行),今要在河上建一座桥(桥与河岸垂直) ,应如何选择桥的位置才能使A 到 B的路程最短 ? 例 2、荆州护城河在CC处直角转弯,河宽相等,从A 处到达 B处,需经过两座桥DD 、EE ,护城河及两桥都是东西、南北方向,桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置,可使A 到 B 点路径最短?2、一条直线a 上有两个动点M、N(点 M 在 N 的左边),M、N 的距离为定值d,直线 a 外有异侧两定点 A、B,要使 AM+MN+BN 的值最小,试确定动点M、N 的位置作法:从点A 向右作 AA a 且 AA =MN=d (即:将点A向右平移d 个单位长度至点A )连接 A B,交直线a 于点 N,在直线a 上点 N 的左边截取NM=d,M、N 即为所求说明:连接AM、BN,此时, AA 平行且等于MN ,四边形 AA NM 是平行四边形,AM=A N, 且AM+MN+BN 最小 =A B+MN3、一条直线a 上有两个动点M、N(点 M 在 N 的左边),M、N 的距离为定值d,直线 a 外有同侧两定点 A、B,要使 AM+MN+BN 的值最小,试确定动点M、N 的位置。

      作法:作点A 关于直线a 的对称点1A, (问题即转化为2 中的问题)从点 A向右作aAA21且dMNAA21(即:将点1A向右平移d 个单位长度至点2A)连接BA2,交直线 a 于点 N,在直线a 上点 N 的左边截取NM=d,M、N 即为所求说明:连接AM、BN,此时,21AA平行且等于MN ,四边形NMAA21是平行四边形,NAMAAM21, 且AM+MN+BN 最小 =A B+MN注:解决有关距离最大最小的问题,应先将问题转化成以上基本模型,再按其基本方法确定题目中所需点的位置mnABMN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 3 页 - - - - - - - - - 。

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