精编苏教版高中数学必修一第二章章末知识整合附答案.pdf

章末学问整合 一，函数的概念 2 1 x 的定义域为 ( 例 1 (1)函数 y ) 1 A(， 1) C(， 0)(0， 1) B(， 0)(0，1 D1， ) (2)定义在 R 上的函数 f(x)满意 f(x1)2f( x)如当 0 x1 时， f(x)x(1 x)，就当 1x 0 时， f(x) 1 x0， 解析： (1)要使函数有意义，就 1 1 x 0. 所以 x1 且 x0. 2 1x 因此函数 y 的定义域为 x|x 1 且 x 0 1 (2)设 1x 0，就 0 x 1 1， 所以 f(x1)(x 1)1 (x 1) x(x 1) 又由于 f(x 1)2f(x)， f（ x 1） 2 x（ x 1） 2 所以 f(x) . x（ x1） 2 答案： (1)B (2) 第 1 页，共 12 页 规律方法 1 如已知给出函数解析式，就函数的定义域是使解析式有意义 的自变量的取值集合 2求函数的解析式的关键是懂得对应关系 f 的本质与特点 (对应 关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无 关)，应用适当的方法，留意有的函数要注明定义域 1 2x 1.(1)求函数 y(x 1)0 2x 3 的定义 即时演练 域； 1 1 x 4 f x4 (2)求函数 yf(x)的定义域为 1， 1， 求函数 yf 的定义域 解： (1)要使函数有意义，需有 x 10， 解之得 3 2 x0， x 2 且 x 1. 2 2x 3 0， 第 2 页，共 12 页 3 x2 且 x 2 所以函数的定义域是 . x 1 1， 1x4 (2)要使函数有意义，必需有 1 1， 1x4 5 3 x ， 4 4 因此 3 x 3 解得 ， 4 4 3 5 4 x 4 ， 1 1 3 3 x4 x4 4， 4 . 所以函数 yf f 的定义域为 二，函数的性质及其应用 axb 1 f(x) 1x2 是定义在 ( 1，1)上的奇函数， 且 f 2 例 2 函数 2 5 . (1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义法证明 f(x)在 ( 1， 1)上是增函数； (3)解不等式 f(t 1)f(t) 0. f（ 0） 0， (1)解： 依题意可得 1 2 f 2 5 ， b 0， 1 02 a 1， a 所以 解得 b 2 2 b 0. 15 ， 1 4 x 所以 f(x) . 1x2 第 3 页，共 12 页 (2)证明： 设 x1， x2 是(1，1)上的任意两个实数，且 1 x1 x21，就有： （ x1x2）（ 1x1x2） x1 x2 f (x1) f(x2) . 1x2 1 1x2 （ 1 x2）（ 1x2） 2 1 2 由于 1x1 x2 1， 所以 x1 x20， 1 x2 0， 1x20，1 x1x2 0. 1 2 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在( 1， 1)上是增函数 (3)解： 由于 f(t 1)f(t) 0， 所以 f(t 1) f (t)f(t) 由于 f(x)在( 1， 1)上是增函数， 1 所以 1t1 t 1，解得 0t2. 1 0t2 所以不等式的解集为 t . 第 4 页，共 12 页 规律方法 1 一些求参数的问题往往需要依据奇，偶函数的定义建立关于 参数的恒等式，通过比较等式两边来确定关于参数的方程 2解题时要挖掘隐含条件，同时要求有较高的数学式子变形能 力 f(x)x2bxc，且 f(1)0. 即时演练 2.已知函数 (1)如函数 f(x)是偶函数，求 (2)在(1)的条件下，求函数 f(x)的解析式； f(x)在区间 1，3上的最大值和最小 值； (3)要使函数 f(x)在区间 1， 3上单调递增，求 b 的取值范畴 解： (1)由于函数 f(x)是偶函数，所以 b0. 又由于 f(1)0，所以 1c0，即 c 1. 所以 f(x)x21. (2)结合图象 (图略 )得： 当 x 0 时， f(x)min 1； 第 5 页，共 12 页 当 x 3 时， f(x)max8. (3)由于函数 f(x)x2bxc 的图象关于 x b 对称， 2 要使函数 f(x)在区间 1，3上单调递增， 就有 b 1，所以 b 2. 2 因此实数 b 的取值范畴是 2， ) 三，函数的图象及应用 f(x)x24|x| 3. 例 3 设函数 (1)判定函数 (2)画出函数 f(x)图象的对称性； f(x)的图象，并指出函数的单调区间和最小值 解： (1)f(x)x2 4|x| 3 的定义域为 R，且关于原点对称 又 f ( x)( x)2 4| x|3 x24|x|3， 所以 f(x)f(x)，函数 y f(x)是偶函数 因此函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 x2 4x 3（ x 2）21（ x 0）， x2 4x 3（ x 2）21（ x 0）， (2)f(x) 画出函数 yf(x)的图象如下列图 第 6 页，共 12 页 依据图象知，函数 f(x)的最小值是 1. 单调增区间是 2， 0，2， )，减区间是 ( ， 2，0， 2 规律方法 1 描点法求定义域；化简；列表，描点，连光滑曲线 留意：要利用单调性，奇偶性，对称性简化作图 2函数的图象可直观反映函数的性质 即时演练 3.(1)如图所示，给特别函数 yf(x)的局部图象， 第 7 页，共 12 页 试作出 y 轴右侧的图象并求出 f(3)的值； 图 图 (2)如图所示， 给出偶函数 yf(x)的局部图象， 比较 f(1)与 f(3) 的大小，并试作出 y 轴右侧的图象 解： (1)奇函数 y f(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P(x， f(x) 关于原点的对称点为 P x( ， f(x)，下图为补充后的图象易知 f(3) 2. 第 8 页，共 12 页 (2)偶函数 yf(x)在 y 轴左侧图象上任一点 P( x，f(x)关于 y 轴 的对称点为 P x( ，f (x)，下图为补充后的图象易知 f(1)f(3) 四，数列结合与分类争论思想 f(x)x2 2x 2， x t， t 1，tR，求函数 例 4 设函数 f(x)的最小值 解：f(x)x2 2x 2(x 1)2 1.x t，t 1，tR，对称轴为 x 1. 当 t 11，即 t0 时，函数图象如图 所示，函数 f(x)在区 间t，t1 上为减函数，所以最小值为 f (t1)t21. 当 t 1t 1，即 0t 1 时，函数图象如图 所示，最小值 为 f(1) 1. 当 t 1 时，函数图象如图 所示，函数 f(x)在区间 t，t 1上 为增函数，所以最小值为 f(t)t22t2. 第 9 页，共 12 页 图 图 图 t21，t0， 1， 0t1， t22t 2，t 1. 综上所述 f(x)min 规律方法 1求二次函数的最值关键在于确定函数在给定区间上的单调性， 这受制于二次项系数的符号和对称轴与区间的相对位置关系 2对于 “ 轴定区间变 ” ，留意争论二者的相对位置，借助几何 第 10 页，共 12 页 直观求出最值，从而表达分类争论与数形结合思想的应用 （x1） 2 （ x 1）， 2x 2 （ 1 x1）， 已知 即时演练 4.设函数 f(x) 1 1 （ x1）， x f(a)1，求 a 的取值范畴 提示：由 (a 1)2 1 可得 1 1 a 11 或 a 解： 法一 (分类争论思想方法 )： 当 a 1 时， 由 (a 1)2 1 得 a0 或 a 2， 又 a1，所以 a 2； 1 当 1a 1 时，由 2a 2 1 得 a 2 又 1a1， ， 所以 1a 1； 2 1 1 当 a1 时，由 a11 得 0a2， 又 a 1，所以 a 不存在 1 2 ， 1 . 综上可知 a 的取值范畴为 (， 2) 法二 (数形结合思想方法 )： f (x)的图象如下列图，画直线 y1， 1 2 ， 1 符合 f(a) 1 的 a 的取值范畴为 ( ， 2) . 第 11 页，共 12 页 第 12 页，共 12 页 。