2020年全国卷Ⅰ数学高考试题文档版（含答案）.pdf

1 2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A= x|1 x 3 ，B= x|2x4 ，则 A B=A x|2x 3Bx|2 x 3C x|1 x4D x|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在y 轴上B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为nC若 mn0，则 C 是两条直线10下图是函数y= sin(x + )的部分图像，则sin(x + )= Asin(3x）Bsin(2 )3xCcos(26x）D5cos(2 )6x11已知 a0，b0，且 a+b=1，则A2212abB122a bC22loglog2abD2ab12 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 . 设 随 机 变 量X所 有 可 能 的 取 值 为1,2,n， 且1()0(1,2, ),1niiiP Xipinp，定义 X 的信息熵21()logniiiH Xpp .A若 n=1，则 H(X)=0B若 n=2，则 H(X)随着1p 的增大而增大C若1(1,2, )ipinn，则 H(X)随着 n 的增大而增大D若n=2m，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,m，且21()(1,2,)jmjP Yjppjm ，则H(X) H(Y)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。

13斜率为3 的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于 A，B 两点，则AB =_14将数列 2 n 1 与 3n 2 的公共项从小到大排列得到数列an，则 an 的前 n 项和为 _4 15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形， BCDG，垂足为 C，tanODC=35，BHDG，EF=12 cm，DE= 2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm216 已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为2， BAD=60 以1D为球心，5 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 _四、解答题：本题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18 （12 分）已知公比大于1的等比数列 na满足24320,8aaa（1）求 na的通项公式；（2）记mb为na在区间*(0,()m mN中的项的个数，求数列mb的前 100项和100S19 （12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5 和2SO浓度（单位：3 g/m ） ，得下表：5 2SOPM2.50,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710（1）估计事件 “ 该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75 ，且2SO浓度不超过 150” 的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：2SOPM2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据（2） 中的列联表， 判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中PM2.5 浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n adbcKabcdac bd，2()P Kk0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.82820（ 12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC的交线为 l（1）证明： l平面 PDC；（2）已知 PD=AD=1，Q为l上的点，求 PB与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值21（ 12分）已知函数1( )elnlnxf xaxa（1）当ea时，求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（ 1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；6 （2）若 f（x）1 ，求 a的取值范围22（ 12分）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点 A（2，1）（1）求 C的方程：（2）点 M，N在C上，且 AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得 |DQ|为定值参考答案一、选择题1C 2D 3C 4B 5C 6 B 7A 8D 二、选择题9ACD 10BC 11ABD 12AC 三、填空题1316314232nn155421622四、解答题17解：方案一： 选条件由6C和余弦定理得222322abcab由sin3sinAB及正弦定理得3ab于是22223322 3bbcb，由此可得bc由3ac，解得3,1abc因此，选条件时问题中的三角形存在，此时1c方案二： 选条件由6C和余弦定理得222322abcab由sin3sinAB及正弦定理得3ab7 于是22223322 3bbcb，由此可得bc，6BC，23A由sin3cA，所以2 3,6cba因此，选条件时问题中的三角形存在，此时2 3c方案三： 选条件由6C和余弦定理得222322abcab由sin3sinAB及正弦定理得3ab于是22223322 3bbcb，由此可得bc由3cb，与 bc 矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在18解：（1）设 na的公比为q由题设得31120a qa q，218a q解得12q（舍去），2q由题设得12a所以 na的通项公式为2nna（2）由题设及（1）知10b，且当122nnm时，mbn所以10012345673233636465100()()()()Sbbbbbbbbbbbbb2345012223242526(10063)480 19解：（1）根据抽查数据，该市100 天的空气中PM2.5 浓度不超过75，且2SO浓度不超过150 的天数为32186864 ,因此 ,该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75， 且2SO浓度不超过150 的概率的估计值为640.64100（2）根据抽查数据，可得22列联表：8 2SOPM2.50,150(150,4750,756416(75,1151010（3）根据（ 2）的列联表得22100(64 10 16 10)7.48480207426K由于 7.4846.635 ，故有 99% 的把握认为该市一天空气中PM2.5 浓度与2SO浓度有关20解：（1）因为PD底面 ABCD ，所以PDAD又底面 ABCD 为正方形，所以ADDC ，因此AD底面 PDC 因为 ADBC， AD平面 PBC ，所以AD平面 PBC 由已知得 lAD因此 l平面 PDC （2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则(0,0,0),(0,1,0),(1 ,1,0),(0,0,1)DCBP，(0,1,0)DC，(1,1, 1)PB由（ 1）可设( ,0,1)Q a，则( ,0,1)DQa设( , , )x y zn是平面 QCD 的法向量，则0,0,DQDCnn即0,0.axzy可取( 1,0,)an所以21cos,| |3 1PBaPBPBannn设PB与平面 QCD 所成角为，则223|1|32sin13311aaaa因为23261313aa，当且仅当1a时等号成立，所以PB与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值9 为6321解：( )f x 的定义域为(0,) ，11( )exfxax（1）当ea时，( )eln1xf xx，(1)e1f，曲线( )yf x 在点 (1, (1)f处的切线方程为(e1)(e1)(1)yx，即(e1)2yx直线(e1)2yx在x轴，y轴上的截距分别为2e1，2因此所求三角形的面积为2e1（2）当 01a时，(1)ln1faa当1a时，1( )elnxf xx ，11( )exfxx当(0,1)x时，( )0fx；当(1,)x时，( )0fx所以当1x时，( )f x 取得最小值，最小值为(1)1f，从而( )1f x当1a时，11( )elnlneln1xxf xaxax综上，a的取值范围是1,) 22解：（1）由题设得22411ab，22212aba，解得26a，23b所以C的方程为22163xy（2）设11(,)M xy，22(,)N xy若直线 MN 与x轴不垂直，设直线MN 的方程为ykxm ，代入22163xy得222(12)4260kxkmxm于是2121222426,1212kmmxxx xkk由 AMAN 知0AMAN，故1212(2)(2)(1)(1)0 xxyy，可得221212(1)(2)()(1)40kx xkmkxxm将代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212mkmkkmkmkk整理得 (231)(21)0kmkm因为(2,1)A不在直线 MN 上，所以 210km，故 2310km，1k10 于是 MN 的方程为21()(1)33yk xk.所以直线 MN 过点21(,)33P.若直线 MN 与x轴垂直，可得11(,)N xy.由0AMAN得1111(2)(2)(1)(1)0 xxyy.又2211163xy，可得2113840 xx.解得12x（舍去），123x.此时直线 MN 过点21(,)33P.令 Q 为AP的中点，即4 1(, )3 3Q.若D与P不重合，则由题设知AP是 RtADP的斜边，故12 2|23DQAP.若D与P重合，则1|2DQAP.综上，存在点4 1(, )3 3Q，使得 |DQ 为定值 .。