湖南省永州市星之源古筝艺术学校高三数学理下学期期末试卷含解析.docx

湖南省永州市星之源古筝艺术学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知P为圆(x＋1)2＋y2＝1上任一点，A，R为直线3x＋4y－7＝0上的两个动点，且，则△PAB面积的最大值为A.9      B.      C.3      D.参考答案：B2. 已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是A．    B．    C．    D．参考答案：D  依题意：，，因为两曲线，有公共点，设为，所以，因为，所以，因此构造函数，由，当时，即单调递增；当时，即单调递减，所以即为实数的最大值.3. 已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga|x|﹣b|的图象是（　　）　A．B．C．D．参考答案：A考点：函数的图象；对数函数的单调性与特殊点．专题：数形结合．分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出b的值，根据函数是一个增函数，看出底数的范围，得到结果．解答：解：∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是奇函数，∴f（0）=0∴b=1，又∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，所以a＞1，所以g（x）=loga||x|﹣1|定义域为x≠±1，且当x＞1递增，当0＜x＜1递减，故选A点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．4. 已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（　　）（注：e为自然对数的底数）A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．5. 已知集合，，则（   ）A.             B.C.           D.参考答案：B6. 抛物线方程为，圆方程为，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，已知在轴上，为的中点，则(   )A. B. C. D.参考答案：B如图4，由题知，为的中点，则，代入抛物线，得直线过焦点，则，，，原点至的距离∴，故选B．7. 等差数列的前n项和为，若，则等于（    ）A.52          B.54            C.56           D.58参考答案：A8. 已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（　　）A．6个 B．10个 C．12个 D．16个参考答案：C【考点】分类加法计数原理；向量的共线定理．【专题】压轴题．【分析】本题从，说明△ABC是等腰三角形，f（1）=f（3）；M和N以即函数的理解，分类乘法计数原理的应用．【解答】解：由，说明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；点A（1，f（1））、当f（1）=1=f（3）时f（2）=2、3、4，三种情况．f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．因而满足条件的函数f（x）有12种．故选C【点评】涉及向量，和三角形的转化，函数的定义；△ABC是等腰三角形，且BA=BC?f（1）=f（3），这是解题的关键．9. 将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为(     )A． B． C．0 D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10. 若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则 （　　）　A．a2+b2≤4B．a2+b2≥4C．D．参考答案：B考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），得到acosα+bsinα=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项．解答：解：直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），∴acosα+bsinα=2，∴a2+b2=（a2+b2）（cos2α+sin2α）≥（acosα+bsinα）2=4，（当且仅当时等号成立）故选B．点评：本题主要考查了直线的方程、柯西不等式求最值等．注意配凑的方法，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为　　．参考答案：考点： 直线与圆的位置关系．专题： 计算题；直线与圆．分析： 根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．解答： 解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，即d==，整理得a2+2b2=2，则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d==≥，∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．故答案为：．点评： 本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．12. 在圆x2+y2=4内部任意取一点P（x0，y0），则x02+y02≤1概率是　　．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意，两圆面积比为1比4，由几何概型可得结论．【解答】解：由题意，两圆面积比为1比4，由几何概型，．故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．13. 若执行如图3所示的框图，输入，,则输出的数于         。

参考答案：略14. 如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是__________．参考答案：-18 15. (文)的二项展开式中含项的系数为           .参考答案：21016. 已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)+ f(x)·g′(x) <0，+=，若有穷数列{}(n∈N*)的前n项和等于，则n等于 . 参考答案：4  略17. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为                    ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示. （Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）由题意，可知，∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分而乙校等级的学生人数为4．∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分∴ ∴的分布列为0123．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分      数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cosA=，A=；（Ⅱ）△ABC中，由正弦定理得到，进而得到角B，再由内角和为π得到角C，由三角形面积公式即得结论．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．                                又A∈（0，π），故．                          （Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，，所以．                                又，故或．                    若，则，于是；      若，则，于是．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题20. 已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率为，可得，由椭圆短轴的端点是B1，B。