9.2分式的运算讲解与例题.doc

数学试卷9.2 分式的运算1．类比分数的运算法则，掌握分式乘除法、加减法的运算法则．2．掌握分式的乘方法则，能进行分式的乘法、除法、乘方的运算及其混合运算．3．能用分式的运算解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识．1．分式的乘除(1) 分式的乘法法则两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母．a c a· c ac用字母表示为： b· d＝ b· d＝ bd.(2) 分式的除法法则两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．a c a d ad用字母表示为：b÷ d＝ b·c＝ bc.(3) 理解两个法则的注意事项：①分式与分式相乘，如果分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约去公因式，然后再相乘．②整式与分式相乘，可以直接把整式 ( 整式的分母视为1) 和分式的分子相乘作分子，分母不 变．当整式是多项式时，同样要先分解因式．③分式的除法可以统一到分式的乘法，即颠倒除式的分子、分母，再与被除式相乘．④分式的乘除法的计算结果，要通过约去公因式，化为最简分式或整式．【例 1－ 1】计算下列各题：ab2 4cd(1) 2c2· － 3a2b2；2x－ 62x－ 4(2) 2·.x － 4x＋ 4x－324cd2·4422dababcdab cd解： (1) 2c2· － 3a2b2＝－ 2c2·3a2b2＝－ 6a2b2c2＝－ 3ac.2x－ 6 2x－ 4(2) x2－ 4x＋ 4· x－3＝x－2 ·x－x－x－ 3＝x－2x－x－x－4＝ x－ 2.分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算， 其运算步骤为： ①符号运算； ②按分式的乘法法则运算； ③约分． 分式中的分子、数学试卷分母都是多项式时，先因式分解，再约分．2y2【例 1－ 2】计算： (1)－3 ÷；xy3x2x－y(2)( xy－ x ) ÷ xy .2y23x9x2解： (1) － 3xy ÷ 3x ＝－ 3xy·2y2＝－ 2y.2 x－y(2)( xy－ x ) ÷＝ ( xy－ x2) · xy x－ yxy＝－ x( x－ y) · x－y2＝－ x y.(1) 分式的除法运算，抓住“一变一倒” ，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒．(2) 分式的分子、分母都是多项式的分式除法先转化为乘法，然后把多项式进行因式分解，最后约分．【例 1－ 3】计算 (1)3x2y7a2b14xb42·6÷；4－ a2abxya2÷a－ 2a＋2(2)·.4＋4a＋ a2a＋ 4a－1327214xbx ya b解： (1) 4ab2· 6xy ÷ a3x2y 7a2baa2＝ 4ab2· 6xy · 14xb＝ 16b2.4－ a2 a－ 2 a＋2(2) 4＋4a＋ a2÷ 2a＋ 4· a－1＋a－a＋a＋ 2a＝＋ a2·a－ 2·a－ 12a＋ 4＝－ .a－ 1分式的乘除混合运算，一般先将除法运算转化为乘法运算，然后再按照乘法运算的法则进行．2．分式的乘方(1) 分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母分别乘方．用式子表示为：anan(n为正整数，≠0) ．b＝bbn(2) 理解法则的注意事项：a 2 a2①分式乘方时，一定要把分式加上括号，如b≠ b.②分式本身的符号也要同时乘方．a2＋ c2a＋ c2③ 分式分子或分母是多项式时，要避免出现类似b＝b2这样的错误．④分式的乘方a n 可以转化为积的乘方(ab－1) n，这可以利用负整数指数幂的意义验证，b－n ana n－ 1nn根据负整数指数幂的意义，可知b ＝ ( ab )＝ a b＝ bn.⑤公式中的 a，b 可以是单项式，也可以是多项式，乘方时要注意分子、分母中的每一数学试卷个因式都要乘方，千万不能出现漏项乘方．－2y 2a2＋2ab 3【例 2－ 1】计算： (1)x2； (2)a2－2ab.分析： (1) 分式的分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；(2) 分式的分子、分母是多项式，应该先各自因式分解，发现有公因式，先约分，然后再运用法则计算．－ 2y 2 4y2解： (1) 原式＝x22 ＝ x4 .(2) 原式＝a a＋2b3a＋ 2b 3a＋ 2b3a a－2＝a－ 2b＝a－ 2b3.b在计算乘方运算时，如果分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；如果分子、分母是多项式， 要先因式分解， 通常约去公因式后再计算，也可以先进行乘方运算后再约去公因式．【例 2－ 2】计算：2xy28x2－ 2m 3.2÷y2 ·y2－ mn2xy2－ 2m 3解：2÷8x2 ·2y2－ mny34x2y2y2－8m＝24·8x2·y6mn4m＝－ n4y2.含有乘方的分式混合运算，应先进行分式的乘方运算，然后再进行乘除运算．应注意运算中的符号．3．通分(1) 通分的概念：化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分．(2) 最简公分母：异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．(3) 确定最简公分母：①如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数．②字母取所有字母，取所有不同底的幂的因式；③相同底的幂的因式取最高次幂．系数：各分母的最小公倍数即最简公分母 底数：所有的幂指数：相同底数最高的当分母是多项式时，一般应先分解因式．分式的通分，实质上就是将各分式的分母在不改变分式值的情况下都写成各分母的最简公分母的形式．分式通分的依据是分式的基本性质．(4) 分式通分的步骤：先确定各分式的最简公分母，再将各分式通过分式的基本性质变形，使其各分母都成为最简公分母．2a 3c 5b【例 3】通分： (1) 3b2c， 4a2 b， － 2ac2 .1 x(2) x2－ 9， 6－ 2x.分析： (1) 各分母系数的最小公倍数是 12，字母因式 a，b，c 的最高次幂分别是 a2，b2，c2，因此最简公分母是 12a2b2c2.(2) 分母分解因式＋3)( x－ 3) ．x2－ 9＝ ( x＋ 3)(x－3) ；(6 － 2x) ＝－ 2( x－ 3) ，因此最简公分母为2( x数学试卷2a2a·4a2c8a3c解：(1)32＝ 3 2·42 ＝12222；b cb ca ca b c3c3c·3bc29bc34a2b＝ 4a2b·3bc2＝12a2b2c2；5b5b·6ab230ab3－ 22＝－ 22·62＝－12222.acacaba b c12(2) x2－ 9＝x＋x－；xxx x＋.6－ 2x＝ －x－＝－x＋x－4．分式的加减(1) 同分母的分式 加减法则同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．a b a± b用式子表示为： c± c＝ c .(2) 异分母的分式加减法则异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减．a c ad bc ad± bc用式子表示为： b± d＝ bd±bd＝ bd .(3) 理解这两个法则的注意事项：①同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算， 分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号．②异分母分式加减运算的关键是利用通分， 转化为同分母的分式相加减， 再根据同分母的分式加减法进行运算．通分时，要注意最简公分母的 确定．③分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．2a 2b【例 4－ 1】计算： (1) a＋ b＋ a＋ b；x＋ 3y x＋ 2y 2x－3y(2) x2－ y2－ x2－ y2＋ x2－ y2 ；2x＋ 52－x－ 12＋2x－ 32.(3)x＋x＋x＋分析：按照同分母加减法法则运算，计算结果要注意化简．2a＋2b＝a＋b解： (1) 原式＝＋ba＋＝ 2.ab(2) 原式＝x＋ 3y－ x＋ 2y ＋ x－ 3y。